-
函數性質
鎖定
- 中文名
- 函數
- 外文名
- function
- 表達式
- y=f(x)=ax²+bx+c
- 適用領域
- 學術
- 應用學科
- 數學物理
函數性質頂點式
對於任意一條頂點在座標軸原點上的二次函數，有y=ax²
對於函數y=ax²,在X軸上平移h個單位，有y=a(x-h)²
對於函數y=ax²,在Y軸上平移k個單位，有y=ax²+k
對於函數y=a(x-h)²在Y軸上平移k個單位，或函數y=ax²+k在X軸上平移h個單位有：
y=a(x-h)²+k
y=a(x-h)²+k也是最常用的一條頂點式，通過代入特殊的點座標，均可以轉換成y=ax²+k、y=a(x-h)²、y=ax²三者之一。
函數性質三角函數
三角函數
三角函數在複數中有較為重要的應用。在物理學中，三角函數也是常用的工具。
符號 sin cos tan cot sec csc
正弦函數 sin（A）=a/h
餘弦函數 cos（A）=b/h
正切函數 tan（A）=a/b
餘切函數 cot（A）=b/a
正割函數 sec (A) =h/b
餘割函數 csc (A) =h/a
同角三角函數間的基本關係式
·平方關係：
sin²α+cos²α=1
tan²α+1=sec²α
cot²α+1=csc²α
·商的關係：
tanα=sinα/cosα cotα=cosα/sinα
·倒數關係：
tanα·cotα=1
sinα·cscα=1
cosα·secα=1
三角函數恆等變形公式
·兩角和與差的三角函數：
cos(α+β)=cosα·cosβ-sinα·sinβ
cos(α-β)=cosα·cosβ+sinα·sinβ
sin(α±β)=sinα·cosβ±cosα·sinβ
tan(α+β)=(tanα+tanβ)/(1-tanα·tanβ)
tan(α-β)=(tanα-tanβ)/(1+tanα·tanβ)
·倍角公式：
sin(2α)=2sinα·cosα
cos(2α)=cos²(α)-sin²(α)=2cos²(α)-1=1-2sin²(α)
tan(2α)=2tanα/[1-tan²(α)]
·三倍角公式：
sin3α=3sinα-4sin³(α)
cos3α=4cos³(α)-3cosα
·半角公式：
sin²(α/2)=(1-cosα)/2
cos²(α/2)=(1+cosα)/2
tan²(α/2)=(1-cosα)/(1+cosα)
tan(α/2)=sinα/(1+cosα)=(1-cosα)/sinα
·萬能公式：
sinα=2tan(α/2)/[1+tan²(α/2)]
cosα=[1-tan²(α/2)]/[1+tan²(α/2)]
tanα=2tan(α/2)/[1-tan²(α/2)]
·積化和差公式：
sinα·cosβ=(1/2)[sin(α+β)+sin(α-β)]
cosα·sinβ=(1/2)[sin(α+β)-sin(α-β)]
cosα·cosβ=(1/2)[cos(α+β)+cos(α-β)]
sinα·sinβ=-(1/2)[cos(α+β)-cos(α-β)]
·和差化積公式：
sinα+sinβ=2sin[(α+β)/2]cos[(α-β)/2]
sinα-sinβ=2cos[(α+β)/2]sin[(α-β)/2]
cosα+cosβ=2cos[(α+β)/2]cos[(α-β)/2]
cosα-cosβ=-2sin[(α+β)/2]sin[(α-β)/2]
(2)已知三角函數值求角.
本章包括任意角的三角函數、兩角和與差的三角函數、三角函數的圖像和性質三部分.
函數的幾種特性
①有界性
④週期性
公式一：
sin（2kπ+α）=sinα
cos（2kπ+α）=cosα
tan（2kπ+α）=tanα
cot（2kπ+α）=cotα
公式二：
設α為任意角，π+α的三角函數值與α的三角函數值之間的關係：
sin（π+α）=－sinα
cos（π+α）=－cosα
tan（π+α）=tanα
cot（π+α）=cotα
公式三：
任意角α與 -α的三角函數值之間的關係：
sin（－α）=－sinα
cos（－α）=cosα
tan（－α）=－tanα
cot（－α）=－cotα
公式四：
利用公式二和公式三可以得到π-α與α的三角函數值之間的關係：
sin（π－α）=sinα
cos（π－α）=－cosα
tan（π－α）=－tanα
cot（π－α）=－cotα
公式五：
利用公式一和公式三可以得到2π-α與α的三角函數值之間的關係：
sin（2π－α）=－sinα
cos（2π－α）=cosα
tan（2π－α）=－tanα
cot（2π－α）=－cotα
公式六：
π/2±α及3π/2±α與α的三角函數值之間的關係：
sin（π/2+α）=cosα
cos（π/2+α）=－sinα
tan（π/2+α）=－cotα
cot（π/2+α）=－tanα
sin（π/2－α）=cosα
cos（π/2－α）=sinα
tan（π/2－α）=cotα
cot（π/2－α）=tanα
sin（3π/2+α）=－cosα
cos（3π/2+α）=sinα
tan（3π/2+α）=－cotα
cot（3π/2+α）=－tanα
sin（3π/2－α）=－cosα
cos（3π/2－α）=－sinα
tan（3π/2－α）=cotα
cot（3π/2－α）=tanα
(以上k∈Z)
函數性質最值問題
例1設a是大於零的常數，且a≠1，求y的最大值與最小值．
大值a．
例2已知x，y，z是非負實數，且滿足條件
x+y+z=30，3x+y-z=50．
求u=5x+4y+2z的最大值和最小值．
分析 題設條件給出兩個方程，三個未知數x，y，z，當然，x，y，z的具體數值是不能求出的．但是，我們固定其中一個，不妨固定x，那麼y，z都可以用x來表示，於是u便是x的函數了．
解 從已知條件可解得
y=40-2x，z=x-10．
所以
u=5x+4y+2z
=5x+4(40-2x)+2(x-10)
=-x+140．
又y，z均為非負實數，所以
解得10≤x≤20．
由於函數u=-x+140是隨着x的增加而減小的，所以當x=10時，u有最大值130；當x=20時，u有最小值120．
二次函數的最大值與最小值
例3已知x1，x2是方程
x-(k-2)x+(k+3k+5)=0
3k+16k+16≤0，
例4已知函數
有最大值-3，求實數a的值．
解 因為
的範圍內分三種情況討論．
-a+4a-1=-3
解 設矩形PNDM的邊DN=x，NP=y，於是矩形PNDM的面積
S=xy，2≤X≤4．
易知CN=4-x，EM=4-y，且有
例6設p＞0，x=p時，二次函數f(x)有最大值5，二次函數g(x)的最小值為-2，且g(p)=25，f(x)+g(x)=x+16x+13．求g(x)的解析式和p的值．
解 由題設知
f(p)=5，g(p)=25，
f(p)+g(p)=p+16p+13，
所以 p+16p+13=30，
p=1(p=-17捨去)．
由於f(x)在x=1時有最大值5，故設
f(x)=a(x-1)+5，a＜0，
所以
g(x)=x+16x+13-f(x)
=(1-a)x+2(a+8)x+8-a．
由於g(x)的最小值是-2，於是
解得a=-2，從而
g(x)=3x+12x+10．
分式函數的最大值與最小值
解 去分母、整理得
(2y-1)x+2(y+1)x+(y+3)=0．
△≥0，即
△=[2(y+1)]-4(2y-1)(y+3)≥0，
解得 -4≤y≤1．
時，取最小值-4，當x=-2時，y取最大值1．
説明 本題求最值的方法叫作判別法，這也是一種常用的方法．但在用判別法求最值時，應特別注意這個最值能否取到，即是否有與最值相應的x值．
yx-ax+(y-b)=0．
因x是實數，故
△=(-a)-4·y·(y-b)≥0，
由題設知，y的最大值為4，最小值為-1，所以
(y+1)(y-4)≤0，
即 y-3y-4≤0． ②
由①，②得
所以a=±4，b=3．
其他函數的最大值與最小值
解 先估計y的下界．
又當x=1時，y=1，所以，y的最小值為1．
説明 在求最小(大)值，估計了下(上)界後，一定要舉例説明這個界是能取到的，才能説這就是最小(大)值，否則就不一定對了．例如，本題我們也可以這樣估計：
但無論x取什麼值時，y取不到-3，即-3不能作為y的最小值．
例10設x，y是實數，求u=x+xy+y-x-2y的最小值．
又當x=0，y=1時，u=-1，所以，u的最小值為-1．
例11求函數
的最大值，並求此時的x值，其中[a]表示不超過a的最大整數．
函數性質學習指導
函數性質函數的概念
函數性質函數的通性
奇偶性的幾何意義是兩種特殊的圖像對稱。
判斷函數單調性的方法：①定義法，即比差法；②圖像法；③單調性的運算性質（實質上是不等式性質）；④複合函數單調性判斷法則。
求週期的重要方法：①定義法；②公式法；③圖像法；④利用重要結論：若函數f(x)滿足f(a-x)=f(a+x)，f(b-x)=f(b+x)，a≠b，則T=2b-2a。
函數性質函數的圖像
函數的圖像既是函數性質的一個重要方面，又能直觀地反映函數的性質，在解題過程中，充分發揮圖像的工具作用。
圖像作法：①描點法；②圖像變換。應掌握常見的圖像變換。
