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函數奇偶性
鎖定
- 中文名
- 函數奇偶性（奇函數，偶函數）
- 外文名
- Even function / Odd function
- 特性1
- 偶函數：關於y軸對稱
- 特性2
- 奇函數：關於原點對稱
函數奇偶性定義
一般地，對於函數
⑶
如果對於函數定義域內的任意一個x，都有
和
，（x∈R，且定義域關於原點對稱.）那麼函數
既是奇函數又是偶函數，稱為既奇又偶函數。
定義域互為相反數，定義域必須關於原點對稱
特殊的，
既是奇函數，又是偶函數。
説明：①奇、偶性是函數的整體性質，對整個定義域而言。
（分析：判斷函數的奇偶性，首先是檢驗其定義域是否關於原點對稱，然後再嚴格按照奇、偶性的定義經過化簡、整理、再與
比較得出結論）
③判斷或證明函數是否具有奇偶性的根據是定義。
（
]或[
）（定義域不關於原點對稱）
⑥如果函數既符合奇函數又符合偶函數，則叫做既奇又偶函數。例如
注：任意常函數（定義域關於原點對稱）均為偶函數，只有
是既奇又偶函數
函數奇偶性特徵
函數奇偶性奇函數
圖1 奇函數
定理 奇函數圖象關於原點成中心對稱圖形
f(x)為奇函數，f(x)的圖象關於原點對稱，如圖1：
奇函數在某一區間上單調遞增，則在它的對稱區間上也是單調遞增。
點（x,y）→（-x,-y）
奇函數圖像關於原點對稱
函數奇偶性偶函數
圖2 偶函數
定理 偶函數的圖象關於y軸成軸對稱圖形
f(x）為偶函數，f(x)的圖象關於Y軸對稱，如圖2
點（x,y）→（-x,y）
偶函數在某一區間上單調遞減，則在它的對稱區間上單調遞增。
偶函數關於Y軸對稱
函數奇偶性證明方法
1、利用奇偶函數的定義來判斷（這是最基本，最常用的方法）定義：如果對於函數y=f（x）的定義域A內的任意一個值x，都有f（-x）=-f（x）則這個函數叫做奇函數f（-x）=f（x），則這個函數叫做偶函數
2、用求和（差）法判斷：
若f（x）-f（-x）=2f（x），則f（x）為奇函數。
若f（x）+f（-x）=2f（x），則f（x）為偶函數。
3、用求商法判斷
若
=-1,（f（x）≠0）則f（x）為奇函數
若
=1,（f（x）≠0）則f（x）為偶函數
函數奇偶性性質
2、偶函數在定義域內關於y軸對稱的兩個區間上單調性相反，奇函數在定義域內關於原點對稱的兩個區間上單調性相同。
4、對於F（x）=f[g(x)]：
若g(x）是偶函數且f（x）是偶函數，則F[x]是偶函數。
若g(x) 是偶函數且f（x）是奇函數，則F[x]是偶函數。
若g(x）是奇函數且f(x）是奇函數，則F[x]是奇函數。
若g(x）是奇函數且f(x）是偶函數，則F[x]是偶函數。
5、奇函數與偶函數的定義域必須關於原點對稱。
函數奇偶性要點詮釋
[1]奇偶性是整體性質；
[2]x在定義域中，那麼-x在定義域中嗎？----具有奇偶性的函數，其定義域必定是關於原點對稱的；
f(-x)=-f(x)的等價形式為：f(x)+f(-x)=0；
（f（x）≠0）
[4]由定義不難得出若一個函數是奇函數且在原點有定義，則必有f(0)=0；
[5]既是奇函數，又是偶函數的函數有無數個，只要f（x）=0，且定義域關於原點對稱即可
函數奇偶性常用結論
偶函數在對稱的單調區間內有相反的單調性
（2）若f（x-a）為奇函數，則f（x）的圖像關於點（-a，0）對稱
若f（x-a）為偶函數，則f（x）的圖像關於直線x=-a對稱
（3）在f（x），g（x）的公共定義域上：奇函數±奇函數=奇函數
偶函數±偶函數=偶函數
奇函數×奇函數=偶函數
偶函數×偶函數=偶函數
奇函數×偶函數=奇函數
上述奇偶函數乘法規律可總結為：同偶異奇
