一次函數

“函數”一詞最初是由德國的數學家萊布尼茨在17世紀首先採用的，當時萊布尼茨用“函數”這一詞來表示變量x的冪，即x²，x³，….接下來萊布尼茨又將“函數”這一詞用來表示曲線上的橫座標、縱座標、切線的長度、垂線的長度等等所有與曲線上的點有關的變量，就這樣“函數”這詞逐漸盛行。

在中國，古時候的人將“函”字與“含”字通用，都有着“包含”的意思，清代數學家、天文學家、翻譯家和教育家，近代科學的先驅者李善蘭給出的定義是：“凡式中含天，為天之函數。”中國的古代人還用“天、地、人、物”4個字來表示4個不同的未知數或變量，顯然，在李善蘭的這個定義中的含義就是“凡是公式中含有變量x，則該式子叫做x的函數。”這樣，在中國“函數”是指公式裏含有變量的意思。

瑞士數學家雅克·柏努意給出了和萊布尼茨相同的函數定義。1718年，雅克·柏努意的弟弟約翰·柏努意給出了函數了如下的函數定義：由任一變數和常數的任意形式所構成的量叫做這一變數的函數.換句話説，由x和常量所構成的任一式子都可稱之為關於x的函數。

1775年，歐拉把函數定義為：“如果某些變量：以某一種方式依賴於另一些變量.即當後面這些變量變化時，前面這些變量也隨着變化，我們把前面的變量稱為後面變量的函數。”由此可以看到，由萊布尼茲到歐拉所引入的函數概念，都還是和解析表達式、曲線表達式等概念糾纏在一起。

首屈一指的法國數學家柯西引入了新的函數定義：“在某些變數間存在着一定的關係，當一經給定其中某一變數的值，其它變數的值也可隨之而確定時，則將最初的變數稱之為‘自變數’，其它各變數則稱為“函數”。在柯西的定義中，首先出現了“自變量”一詞。

1834年，俄國數學家羅巴契夫斯基進一步提出函數的定義：“x的函數是這樣的一個數，它對於每一個x都有確定的值，並且隨着x一起變化。函數值可以由解析式給出，也可以由一個條件給出，這個條件提供了一種尋求全部對應值的方法.函數的這種依賴關係可以存在，但仍然是未知的”.這個定義指出了對應關係。即條件的必要性，利用這個關係以求出每一個x的對應值。

1837年德國數學家狄裏克雷認為怎樣去建立x與y之間的對應關係是無關緊要的，所以他的定義是：“如果對於x的每一個值，y總有一個完全確定的值與之對應，則y是x的函數。”

德國數學家黎曼引入了函數的新定義：“對於x的每一個值，y總有完全確定了的值與之對應，而不拘建立x，y之間的對應方法如何，均將y稱為x的函數。”

上面函數概念的演變，我們可以知道，函數的定義必須抓住函數的本質屬性，變量y稱為x的函數，只須有一個法則存在，使得這個函數取值範圍中的每一個值，有一個確定的y值和它對應就行了，不管這個法則是公式或圖象或表格或其他形式。

由此，就有了我們課本上的函數的定義：一般地，在一個變化過程中，如果有兩個變量x與y，並且對於x的每一個確定的值，y都有惟一確定的值與其對應，那麼我們就説x是自變量，y是x的函數。 ^[1] 

一次函數有三種表示方法，如下：

用含自變量x的式子表示函數的方法叫做解析式法。

把一系列x的值對應的函數值y列成一個表來表示的函數關係的方法叫做列表法。

用圖象來表示函數關係的方法叫做圖像法。 ^[1] 

一次函數的解析式為：

其中m是斜率，不能為0；x表示自變量，b表示y軸截距。且m和b均為常數。先設出函數解析式，再根據條件確定解析式中未知的斜率，從而得出解析式。該解析式類似於直線方程中的斜截式。 ^[1] 

1、作法與圖形：通過如下3個步驟：

（1）列表：每確定自變量x的一個值，求出因變量y的一個值，並列表；

（2）描點：一般取兩個點，根據“兩點確定一條直線”的道理，即在平面直角座標系中，以自變量的值為橫座標，相應的函數值為縱座標，描出表格中數值對應的各點。

一般地，y=kx+b（k≠0）的圖象過（0，b）和（-b/k，0）兩點即可畫出。

正比例函數y=kx（k≠0）的圖象是過座標原點的一條直線，一般取（0，0）和（1，k）兩點畫出。

（3）連線：可以作出一次函數的圖象——一條直線。因此，作一次函數的圖象只需知道2點，並連成直線即可。

2、性質：（1）在一次函數上的任意一點P（x，y），都滿足等式：y=kx+b（k≠0）。（2）一次函數與y軸交點的座標總是（0，b），與x軸總是交於（-b/k，0）正比例函數的圖象都是過原點。

3、函數不是數，它是指某一變化過程中兩個變量之間的關係。

4、k，b與函數圖像所在象限：

y=kx時（即b等於0，y與x成正比，此時的圖象是一條經過原點的直線）

當k>0時，直線必通過一、三象限，y隨x的增大而增大；

當k<0時，直線必通過二、四象限，y隨x的增大而減小。

y=kx+b（k，b為常數，k≠0）時：

當k>0，b>0，這時此函數的圖象經過一，二，三象限；

當k>0，b<0，這時此函數的圖象經過一，三，四象限；

當k<0，b>0，這時此函數的圖象經過一，二，四象限；

當k<0，b<0，這時此函數的圖象經過二，三，四象限。

當b>0時，直線必通過一、二象限；

當b<0時，直線必通過三、四象限。

特別地，當b=0時，直線通過原點O（0，0）表示的是正比例函數的圖象。

這時，當k>0時，直線只通過一、三象限，不會通過二、四象限。當k<0時，直線只通過二、四象限，不會通過一、三象限。

5、當x=0時，b為函數在y軸上的交點，座標為（0，b）。

當y=0時，該函數圖像在x軸上的交點座標為（-b/k，0）。

6、直線y=kx+b的圖象和性質與k、b的關係如下表所示：

k>0，b>0：經過第一、二、三象限

k>0，b<0：經過第一、三、四象限

k>0，b=0：經過第一、三象限（經過原點）

k<0，b>0：經過第一、二、四象限

k<0，b<0：經過第二、三、四象限

k<0，b=0：經過第二、四象限（經過原點）

7、將函數向上平移n格，函數解析式為y=kx+b+n，將函數向下平移n格，函數解析式為y=kx+b-n，將函數向左平移n格，函數解析式為y=k（x+n）+b，將函數向右平移n格，函數解析式為y=k（x-n）+b。

8、k為一次函數y=kx+b的斜率，k=tanθ（角θ為一次函數圖像與x軸正方向夾角，θ≠90°）。

9、特殊位置關係

當平面直角座標系中兩直線平行時，其函數斜率相等。

當平面直角座標系中兩直線垂直時，其函數斜率的乘積為-1。 ^[1] 

關於平面直角座標系中兩直線垂直時，其函數斜率互為負倒數的證明：

如圖，這2個函數互相垂直，但若直接證明，存在困難，不易理解，如果平移平面直角座標系，使這2個函數的交點交於原點，就會更簡單。就像這一樣，可以設這2個函數的表達式分別為；

y=ax，y=bx。

在x正半軸上取一點（z，0）（便於計算），做與y軸平行的直線，如圖，可知OC=z，AC=a*z，BC=b*z，由勾股定理可得：

OA=√z^2+（a*z）^2

OB=√z^2+（b*z）^2

又有OA^2+OB^2=AB^2，得

z^2+（az）^2+z^2+（bz）^2=（az-bz）^2（因為b小於0，故為az-bz）化簡得：

z^2+a^2*z^2+z^2+b^2*z^2=a^2*z^2-2ab*z^2+b^2*z^2

2z^2=-2ab*z^2

ab=-1

即k=-1

所以兩個K值的乘積為-1。

注意：與y軸平行的直線沒有函數解析式，與x軸平行的直線的解析式為常函數，故上述性質中這兩種直線除外。 ^[1] 

1、要理解函數的意義。

2、聯繫實際對函數圖像的理解。

3、隨圖象理解數字的變化而變化。

1、對一次函數概念理解有誤，漏掉一次項係數不為0這一限制條件；

2、對一次函數圖像和性質存在思維誤區；

3、忽略一次函數自變量取值範圍；（有時x∈Z，其圖象表現為非連續性的點的集合）

4.對於一次函數中，把自變量認為不能等於零。

1、一次函數和一元一次方程有相似的表達形式。

2、一次函數表示的是一對（x，y）之間的關係，它有無數對解；一元一次方程表示的是未知數x的值，最多隻有1個值。

3、一次函數與x軸交點的橫座標就是相應的一元一次方程的根。

4、以二元一次方程組ax+by=c的解為座標的點組成的圖象與一次函數y=（-a/b）x+c/b的圖象相同。

5、二元一次方程組a₁x+b₁y=c₁，a₂x+b₂y=c₂的解可以看作是兩個一次函數y=（-a₁/b₁）x+c₁/d₁和y=（-a₂/b₂）x+c₂/d₂的圖象的交點。

從函數的角度看，解不等式的方法就是尋求使一次函數y=kx+b的值大於（或小於）0的自變量x的取值範圍的一個過程；

從函數圖像的角度看，就是確定直線y=kx+b在x軸上（或下）方部分所有的點的橫座標所構成的集合。

對應一次函數y=kx+b，它與x軸交點為（-b/k，0）。

當k>0時，不等式kx+b>0的解為：x>-b/k，不等式kx+b<0的解為：x<-b/k；

當k<0的解為：不等式kx+b>0的解為：x<-b/k，不等式kx+b<0的解為：x>-b/k。 ^[1] 

（1）簡單的一次函數問題：①建立函數模型的方法；②分段函數思想的應用。

（2）理清題意是採用分段函數解決問題的關鍵。

1、求函數圖像的k值：（y₁-y₂）/（x₁-x₂），即k=tanα（α為直線與x軸正方向的夾角）

2、求與x軸平行線段的中點：（x₁+x₂）/2

3、求與y軸平行線段的中點：（y₁+y₂）/2

4、求任意線段的長：√[（x₁-x₂）²+（y₁-y₂）²]

5、求兩個一次函數式圖像交點座標：解兩函數式

兩個一次函數y₁=k₁x+b₁，y₂=k₂x+b₂，令y₁=y₂，得k₁x+b₁=k₂x+b₂。將解得的x=x₀值代回y₁=k₁x+b₁，y₂=k₂x+b₂兩式的任一式，得到y=y₀，則（x₀，y₀）即為y₁=k₁x+b₁與y₂=k₂x+b₂之交點座標。

6、求任意2點所連線段的中點座標：（（x₁+x₂）/2，（y₁+y₂）/2）

7、求任意2點的連線的一次函數解析式：（x-x₁）/（x₁-x₂）=（y-y₁）/（y₁-y₂）（若分母為0，則分子為0）

（x，y）的正負性為+，+（正，正）時該點在第一象限

（x，y）的正負性為-，+（負，正）時該點在第二象限

（x，y）的正負性為-，-（負，負）時該點在第三象限

（x，y）的正負性為+，-（正，負）時該點在第四象限

8、若兩條直線y₁=k₁x+b₁，y₂=k₂x+b₂互相平行，則k₁=k₂，b₁≠b₂

9、如兩條直線y₁=k₁x+b₁，y₂=k₂x+b₂互相垂直，則k₁×k₂=-1

10、設原直線為y=f（x）=kx+b

y=f（x-n）=k（x-n）+b就是直線向右平移n個單位

y=f（x+n）=k（x+n）+b就是直線向左平移n個單位

y=f（x）+n=kx+b+n就是向上平移n個單位

y=f（x）-n=kx+b-n就是向下平移n個單位

口訣：左加右減相對於X，上加下減相對於b。

11、直線y=kx+b與x軸的交點：（-b/k，0），與y軸的交點：（0，b）

1、當時間t一定，距離s是速度v的一次函數。s=vt。

2、如果水池抽水速度f一定，水池裏水量g是抽水時間t的一次函數。設水池中原有水量S。g=S-ft。

3、當彈簧原長度b（未掛重物時的長度）一定時，彈簧掛重物後的長度y是重物重量x的一次函數，即y=kx+b（k為任意正數）。

常見題型一次函數及其圖象是初中代數的重要內容，也是高中解析幾何的基石，更是中考的重點考查內容。

其中求一次函數解析式就是一類常見題型。現以部分中考題為例介紹幾種求一次函數解析式的常見題型。希望對大家的學習有所幫助。

例1、已知函數

是一次函數，求其解析式。

解：由一次函數定已知

，故一次函數的解析式為y=-6x+3。

注意：利用定義求一次函數y=kx+b解析式時，要保證k≠0。如本例中應保證m-3≠0。

例2、已知一次函數y=kx-3的圖象過點（2，-1），求這個函數的解析式。

解：一次函數的圖象過點（2，-1），，即k=1。故這個一次函數的解析式為y=x-3。

變式問法：已知一次函數y=kx-3，當x=2時，y=-1時，求這個函數的解析式。

例3、已知某個一次函數的圖象與x軸、y軸的交點座標分別是（-2，0）、（0，4），則這個函數的解析式為_____。

解：設一次函數解析式為y=kx+b

由題意得，

故這個一次函數的解析式為y=2x+4。

例4、已知某個一次函數的圖象如圖1所示，則該函數的解析式為__________。

解：設一次函數解析式為y=kx+b由圖可知一次函數的圖象過點（1，0）、（0，2）有

所以k=-2

b=2

故這個一次函數的解析式為y=-2x+2。

例5、已知直線y=kx+b與直線y=-2x平行，且在y軸上的截距為2，則直線的解析式為___________。

解析：兩條直線；。當k₁=k₂，b₁≠b₂時，

直線y=kx+b與直線y=-2x平行，。又直線y=kx+b在y軸上的截距為2，故直線的解析式為y=-2x+2或y=-2x-2。

例6、把直線y=2x+1向下平移2個單位得到的圖象解析式為___________。

解析：設函數解析式為y=kx+b，直線y=2x+1向下平移2個單位得到的直線y=kx+b與直線y=2x+1平行

直線y=kx+b在y軸上的截距為b=1-2=-1。

例7、某油箱中存油20升，油從管道中勻速流出，流速為0.2升/分鐘，則油箱中剩油量Q（升）與流出時間t（分鐘）的函數關係式為___________。

解：由題意得Q=20-0.2t，即Q=-0.2t+20

故所求函數的解析式為Q=-0.2t+20（）

注意：求實際應用型問題的函數關係式要寫出自變量的取值範圍，別忘了考慮變量存在等於0的情況。

例8、已知直線y=kx-4與兩座標軸所圍成的三角形面積等於4，則直線解析式為__________。

解：易求得直線與x軸交點為，所以

，所以|k|=2，即

故直線解析式為y=2x-4或y=-2x-4。

若直線與y=kx+b關於

（1）x軸對稱，則直線的解析式為y=-kx-b；

（2）y軸對稱，則直線的解析式為y=-kx+b；

（3）直線y=x對稱，則直線的解析式為；x = ky + b

（4）直線y=-x對稱，則直線的解析式為；x = -ky + b

（5）原點對稱，則直線的解析式為y=kx-b。

例9、若直線l與直線y=2x-1關於y軸對稱，則直線l的解析式為____________。

解：由（2）得直線l的解析式為y=-2x-1。 ^[2] 

例10、已知函數的圖象過點A（1，4），B（2，2）兩點，請寫出滿足上述條件的兩個不同的函數解析式，並簡要説明解答過程。

解：

（1）若經過A、B兩點的函數圖像是直線，由兩點式易得y=-2x+6

（2）由於A、B兩點的橫、縱座標的積都等於4，所以經過A、B兩點的函數圖像還可以是雙曲線。

例11、如圖2，在平面直角座標系中，A、B是x軸上的兩點，以AO、BO為直徑的半圓分別交AC、BC於E、F兩點，若C點的座標為（0，3）。（1）求圖象過A、B、C三點的二次函數的解析式，並求其對稱軸；（2）求圖象過點E、F的一次函數的解析式。

解：（1）由直角三角形的知識易得點A（-3√3，0）、B（√3，0），由待定係數法可求得二次函數解析式為，對稱軸是x=-√3　（2）連結OE、OF，則、。過E、F分別作x、y軸的垂線，垂足為M、N、P、G，易求得E、F，由待定係數法可求得一次函數解析式。

例12、若方程x²+3x+1=0的兩根分別為，求經過點P和Q的一次函數圖像的解析式

解：由根與係數的關係得

點P（11，3）、Q（-11，11）

設過點P、Q的一次函數的解析式為y=kx+b

則有

解得