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正比例函數

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正比例函數是Jack louny於1911年提出的一種數學術語,主要適用用於函數。正比例函數實質上是一次函數。
中文名
正比例函數
外文名
directly proportional function
表達式
y=kx
提出者
Jack louny
提出時間
1911年
適用領域
生活
應用學科
數學
實    質
一次函數

正比例函數定義

一般地,兩個變量x、y之間的關係式可以表示成形如y=kx的函數(k為常數,x的次數為1,且k≠0),那麼y=kx就叫做正比例函數。 [1] 
正比例函數屬於一次函數,但一次函數卻不一定是正比例函數,它是一次函數的一種特殊形式。
即一次函數形如:y=kx+b(k為常數,且k≠0)中,當b=0時,即所謂“y軸上的截距”為零,則叫做正比例函數。 [1] 

正比例函數關係式

一般地,形如y=kx(k是常數,k≠0)的圖像是一條經過原點的直線,我們稱它為直線y=kx。 [1] 
正比例函數的關係式表示為:y=kx(k為比例係數)。
當k>0時(一、三象限),k的絕對值越大,圖像與y軸的距離越近;函數值y隨着自變量x的增大而增大;
當k<0時(二四象限),k的絕對值越小,圖像與y軸的距離越遠。自變量x的值增大時,y的值則逐漸減小。 [2] 

正比例函數性質

正比例函數單調性

當k>0時,圖像經過第一、三象限,從左往右上升,y隨x的增大而增大(單調遞增),為增函數 [1] 
當k<0時,圖像經過第二、四象限,從左往右下降,y隨x的增大而減小(單調遞減),為減函數

正比例函數對稱性

對稱點:關於原點成中心對稱。 [1] 
對稱軸:自身所在直線;自身所在直線的平分線。

正比例函數圖像

正比例函數圖像描述

正比例函數的圖像是經過座標原點(0,0)和定點(1,k)兩點的一條直線,它的斜率是k(k表示正比例函數與x軸的夾角大小),橫、縱截距都為0,正比例函數的圖像是一條過原點的直線。 [1] 
正比例函數y=kx(k≠0),當k的絕對值越大,直線越“陡”;當k的絕對值越小,直線越“平”。
1、已知一點座標,用待定係數法求函數解析式。先設解析式為y=kx,再代入已知點座標,解出k的值。
2、解出k的值後,在數軸上標出各點並連接個點

正比例函數圖像作法

(一) [2] 
正比例函數的圖片 正比例函數的圖片
1、在x允許的範圍內取一個值,根據解析式求出y的值;
2、根據第一步求的x、y的值描出點;
3、作出第二步描出的點和原點的直線(因為兩點確定一直線)。
(二)
1、已知一點座標,用待定係數法求函數解析式。先設解析式為y=kx,再代入已知點座標,解出k的值;
2、解出k的值後,在數軸上標出各點並連接個點。

正比例函數圖像性質

正比例函數在線性規劃問題中體現的力量也是無窮的。 [2] 
比如斜率問題就取決於k值,當k越大,則該函數圖像與x軸的夾角越大,反之亦然。
還有,y=kx 是 y=k/x 的圖像的對稱軸。

正比例函數正比例

正比例:兩種相關聯的量,一種量變化,另一種量也隨着變化,如果這兩種量相對應的兩個數的比值(也就是商)一定,這兩種量就叫做成正比例的量,它們的關係叫做成正比例關係 [1] 
②用字母表示:如果用字母x和y表示兩種相關聯的量,用k表示它們的比值,(一定)正比例關係可以用以下關係式表示:
其中k為常數。
③正比例關係兩種相關聯的量的變化規律:對於比值為正數的,即y=kx(k為常數,k≠0),此時的y與x,同時擴大,同時縮小,比值不變。例如:汽車每小時行駛的速度一定,所行的路程和所用的時間 成正比例 。以上各種商都是一定的,那麼被除數和除數所表示的兩種相關聯的量成正比例關係。
注意:在判斷兩種相關聯的量是否成正比例時,應注意這兩種相關聯的量,雖然也是一種量隨着另一種的變化而變化,但它們相對應的兩個數的比值不一定,那它們就不能成正比例。例如:一個人的年齡和它的體重,就不能成正比例關係,正方形的邊長和它的面積也不成正比例關係。 而單價數量與總價是成正比的(單價不變,總價隨着數量的增減而增減)。

正比例函數例題

首先通過5個問題,得出5個函數,觀察這5個函數,可納出正比例函數概念。 [2] 
根據上面的5個實際問題,我們得到5個函數。下面觀察這5個函數的共同點,以便歸納出正比例函數概念。
①h=2t ;② m=7.8n; ③s=0.5t; ④T=t/3 ;⑤y=200x。
這5個函數有什麼共同的特點?
1:都有自變量
2:都是函數。
3:都有常量
這5個函數的右邊都是常量和自變量的什麼形式?
這5個函數都是常量與自變量的乘積形式,都可表達為y=kx(k不等於0)的形式。
下面是4個函數,請判斷哪些是正比例函數?
①y=3; ②y=2x; ③y=1/x; ④y=x^2。
解答:
②是正比例函數。因為它符合正比例函數的的定義。①,③,④則不是正比例函數。①:它為常數函數,無自變量。③:它為反比例函數。 ④:它為二次函數。
參考資料
  • 1.    人民教育出版社課本教材研究所.初二八年級上冊數學課本:人民教育出版社,2017
  • 2.    薛金星 .2017中學教材全解 八年級上冊數學:北京師範大學出版社,2016