一元一次方程

一元一次方程最早見於約公元前1600年的古埃及時期。 ^[1] 

約公元前1650年，古埃及的萊因德紙草書中記載了第24題，題目為：“一個量，加上它的

等於19，求這個量。”解決了形為

的一次方程，即單假設法解決問題。

公元前1世紀左右，中國人在《九章算術》中首次加入了負數，並提出了正負數的運算法則，解決了移項問題。在“盈不足”一章中提出了盈不足術。但該方法並沒有被用來解決一元一次方程。在11～13世紀時傳入阿拉伯地區，並被稱為“契丹算法”。

9世紀，阿拉伯數學家花拉子米在《對消與還原》中給出瞭解方程的簡單可行的基本方法，即“還原”和“對消”。但沒有采用字母符號。體現了明顯的方程的思想。

12世紀，印度數學家婆什迦羅在《麗拉沃蒂》一書中用假設法（設未知數）來解決一類一元一次方程。由於所假設的數可以是任意正數，婆什迦羅稱上述方法為“任意數算法”。

13世紀，中國的盈不足術傳入歐洲，意大利數學家斐波那契在《計算之書》中利用單假設和雙假設法來解一元一次方程。

16世紀時，韋達創立符號代數之後，提出了方程的移項與同除命題，也創立了這一概念，被尊稱為“現代數學之父”。但是韋達沒有接受負數。

16世紀時，明代數學家程大位（1533-1606）在《算法統宗》一書中也用假設法來解一元一次方程。

1859年，中國數學家李善蘭正式將這類等式譯為一元一次方程。 ^[1] 

只含有一個未知數，且未知數的高次數是1，等號兩邊都是整式，這樣的方程叫做一元一次方程（linear equation with one unknown）。 ^[1]  其一般形式是：

有時也寫作：

可以通過等式性質化簡而成為一元一次方程的整式方程（如

）也屬於一元一次方程。一元一次方程是一種線性方程，且只有一個根。

解一元一次方程有五步，即去分母、去括號、移項、合併同類項、係數化為1，所有步驟都根據整式和等式的性質進行。 ^[1] 

以解方程

為例：

去分母，得：

去括號，得：

移項，得：

合併同類項，得：（常簡寫為“合併，得：”）

係數化為1，得：

在一元一次方程中，去分母一步通常乘以各分母的最小公倍數，如果分母為分數，則可化為該一項的其他部分乘以分母上分數的倒數的形式。 ^[2] 

以方程

為例：

消除分母上的分數，可化簡為：

進而得出方程的解。

如果分母上有無理數，則需要先將分母有理化。

對於關於

的一元一次方程

，其求根公式為：

解：移項，得：

係數化為1，得：

對於關於

的一元一次方程

可以通過做出一次函數

來解決。一元一次方程

的根就是它所對應的一次函數

函數值為0時，自變量

的值。即一次函數圖象與x軸交點的橫座標。 ^[3] 

以方程

為例：

如圖1，作出函數

的圖象。

由圖像知函數圖象與x軸交於點

可得原方程的根是

一元一次方程通常可用於做數學應用題， ^[1]  也可應用於物理、化學的計算。

如在生產生活中，通過已知一定的液體密度和壓強，通過

公式代入解方程，進而計算液體深度的問題。例如計算大氣壓強約等於多高的水柱產生的壓強，已知大氣壓約為100000帕斯卡，水的密度約等於1000千克每立方米，g約等於10米每二次方秒（10牛每千克），則可設水柱高度為h米，列方程得1000*10h=100000，解得h=10，即可得知大氣壓強約等於10米的水柱所產生的壓強。

希臘數學家丟番圖的墓碑上記載着：

丟番圖長眠於此，他的目標多麼令人驚訝，它忠實地記錄了他生命的軌跡：上帝給予的垂髫時光佔六分之一，又過了十二分之一，髯須漸漸長出，再過七分之一，點燃起結婚的蠟燭。五年之後弄璋之喜，兒子誕生。可憐遲來的寧馨兒，享年僅及其父之半，便進入冰冷的墓。悲傷只有用數論的研究去彌補，又過了四年，他也走完了人生的旅途。終於告別數學，離開了人世。

根據以上信息，算出：（1）丟番圖的壽命；（2）丟番圖開始當爸爸時的年齡；（3）兒子死時丟番圖的年齡。

解法：設丟番圖的壽命x歲；

則

解得x=84,

丟番圖開始當爸爸時的年齡：

兒子死時丟番圖的年齡：84-4=80 ^[1] 

“雞兔同籠問題”是我國古算書《孫子算經》中的數學問題，其內容是：“今有雉（雞）兔同籠，上有三十五頭，下有九十四足。問雉兔各幾何。” 譯成現代漢語為：有若干只雞和兔在同個籠子裏，從上面數，有三十五個頭；從下面數，有九十四隻腳。籠中各有幾隻雞和兔？ ^[4-5] 

該問題可用一元一次方程解決，解法如下：

解法：設雞有x只，兔有

只

由題意得：

解得：x=23

兔的數量 35-x=12

答：雞有23只，兔有12只。

利用一元一次方程可以將一個有限循環小數化為分數，以

為例：

設

，則

可算出

同時，該方法也可用來證明

的問題。 ^[1] 

一元一次方程可以解決絕大多數的工程問題、行程問題、分配問題、盈虧問題、積分表問題、電話計費問題、數字問題。如果僅使用算術，部分問題解決起來可能異常複雜，難以理解。而一元一次方程模型的建立,將能從實際問題中尋找等量關係，抽象成一元一次方程可解決的數學問題。例如在丟番圖問題中，僅使用整式可能無從下手，而通過一元一次方程尋找作為等量關係的“年齡”，則會使問題簡化。一元一次方程也可在數學定理的證明中發揮作用，如在初等數學範圍內證明“0.9的循環等於1”之類的問題。通過驗證一元一次方程解的合理性，達到解釋和解決生活問題的目的，從一定程度上解決了一部分生產、生活中的問題。 ^[5]