分母有理化

分母有理化，簡稱有理化，指的是將該原為無理數的分母化為有理數的過程，也就是將分母中的根號化去。有理化後通常方便運算，有理化的過程可能會影響分子，但分子及分母的比例不變。

應用一般根號運算：

應用平方差公式：

應用立方和、立方差公式：

設

有理化

，求

設

下面介紹兩種分母有理化的常規方法，基本思路是把分子和分母都乘以同一個適當的代數式，使分母不含根號 ^[1]  。

例如二次根式

，下面將之分母有理化：

分子分母同時乘以√2,分母變為2，分子變為2√2，約分後，分數值為√2。在這裏我們想辦法把√2化為有理數，只要變為它的平方即可。

再舉一個分母是多項式的例子，如

，下面將之分母有理化：

思路仍然是將分子分母同乘相同數。這裏使用平方差公式,同時乘上√2+1，分子變為2√2+2，分數值為2√2+2，再約分即可。也就是説，為了有理化多項式的分母，原來分母是減號，我們乘上一個數字相同但用加號連接的式子，再用平方差公式。

此方法可應用到根式大小比較中去。

下面有一些特殊的方法供參考！

將

分母有理化：

這裏我們將分母分解因式後提取出來，這樣避免採用平方差公式分解。這種方法較適用於分子分母含有公因式時。

將

分母有理化：

這裏我們將分子化成平方式，然後利用完全平方公式配方，再和分母約分，這樣避免採用平方差公式分解 ^[2]  。

下面舉一個含參數的二次根式：

將

分母有理化：

在這裏我們將分子用平方差公式分解因式，然後分解！注意在這裏我們不能將分母乘以

，因為

有可能等於0，若分情況討論又比較麻煩，此時我們就應該注意分子和分母的結構關係 ^[3]  ！

例如：

將分子、分母同時乘以分母的有理化因式。

如√a的有理化因式是正負√a，√a+√b的有理化因式是

√a-√b或√b-√a.