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立方差公式

鎖定
立方差公式是數學中常用公式之一。在高中數學中接觸該公式。完全立方差公式與完全立方和公式共稱為完全立方公式
具體為:兩數的平方和加上兩數的積再乘以兩數的差,所得到的積就等於兩數的立方差。
用公式表達即:a3-b3=(a-b)(a2+ab+b2)
中文名
立方差公式
外文名
Difference of Cubes
學    科
數學
應用場合
初中以上的課程

立方差公式簡介

立方差公式也是數學中常用公式之一,在高中數學中接觸該公式,且在數學研究中該式佔有很重要的地位,甚至在高等數學、微積分中也經常用到。完全立方差公式與完全立方和公式共稱為完全立方公式
具體為:兩數的平方和加上兩數的積再乘以兩數的差,所得到的積就等於兩數的立方差。
用公式表達即:

立方差公式證明

立方差公式初級證明

由於立方項不好拆分,但是我們學過,遇到高階項要儘量採用低階項來對其進行簡化處理,所以很容易想到a2,同時由於對a3降階的同時還要和b3進行結合,所以很容易想到a2b這樣一個加法項,因此對上式採取分別加和減一個a2b項,得到下式,同時進行相應的合併
a3-b3=a3-b3+a2b-a2b
=a2(a-b)+b(a2-b2)
=a2(a-b)+b(a+b)(a-b)
=[a2+b(a+b)](a-b)
=(a-b)(a2+ab+b2)
證得:
a3-b3=(a-b)(a2+ab+b2)

立方差公式高級證明

因為(a-b)3=a3-3a2b+3ab2-b3
所以根據交換律法則:
a3-b3=(a-b)3-(-3a2b+3ab2)
=(a-b)(a-b)2+(3ab*a)-(3ab*b)
=(a-b)(a-b)2+(a-b)(3ab)
=(a-b) [(a-b)2+3ab]
=(a-b) [(a2-2ab+b2)+3ab]
=(a-b)(a2+ab+b2)
證得:
a3-b3=(a-b)(a2+ab+b2)

立方差公式公式推廣

類似的,我們有立方和公式及其推廣:
(1) a3+b3=(a+b)(a2-ab+b2)
b+...+(-1)^(r-1)a^(n-r)b^(r-1)+...+b^(n-1)]
n為大於零的奇數,r為中括號內項的序數,後面括號中各項式的冪之和都為n-1,an表示a的n次方。(n大於0且n不等於2)
解題時常用它的變形:(a+b)3=a3+b3+3ab(a+b)和 a3+b3=(a+b)3-3ab(a+b)=(a+b)(a2+b2-ab)
相應的,立方差公式也有變形:a3-b3=(a-b)3+3ab(a-b)=(a-b)(a2+b2+ab)
推廣 [1] 
參考資料
  • 1.    浙江大學數學系高等數學教研組. 工程數學[M]. 高等教育出版社, 1979.