函數模型

函數模型的數學表達式是

，其中：

，代表函數模型中所含有的p個自變量；

，代表函數模型中所含有的q個待定參數；y為因變量。當p=1時，函數模型被稱為“一元函數模型”；當p≥2時，函數模型被稱為“多元函數模型”。一元函數模型是函數方程式中只含有一個自變量的函數模型，其數學表達式可以寫成

——其中x為自變量，其函數圖像通常是一條二維曲線。一元函數模型是最常見的函數模型。

函數模型的擬合步驟可以分為兩步：（1）建立模型；（2）確定參數。按照擬合工具的不同，本文將函數模型的計算機擬合方法分為“Origin軟件法”和“C語言程序法”兩種。實施這兩種擬合方法的共同前提條件是：函數模型

的實際測量值x_ji、y_i（i=1~n，j=1~p）已知，其中n為樣本容量，p為自變量個數。

Origin軟件法適用於一元函數模型的擬合，它適用於“函數模型尚未建立”的情形。Origin軟件可以根據已知的x_i、y_i值（i=1~n），直接擬合出x與y之間存在的函數關係——建立函數模型、確定模型參數、畫出函數曲線。其操作步驟如下所示：

（1）打開Origin軟件，新建Workbook文件，在操作界面中輸入x_i、y_i兩列數據；

（2）選中上述兩列數據，按下快捷鍵“Ctrl+Y”，從而打開了“曲線擬合”對話框。

（3）在Settings選項卡中，在Category下拉菜單中選擇函數模型的類別，在Function下拉菜單中選擇函數模型。此時，在Fit Curve選項卡窗口中可以看到所選函數模型的擬合曲線，在Formula選項卡中可以看到所選函數模型的表達式。

（4）根據擬合曲線的形態，選擇曲線擬合度看上去比較高的函數模型，點擊“Fit鍵”左邊的“Fit till converged鍵”。點擊Messages選項卡，觀察此窗口中顯示的COD(R^2)值，記錄下此時所選擇的函數模型。

（5）重複第（3）（4）步——選擇不同的函數模型。

（6）根據第（3）（4）（5）步的結果，選擇COD(R^2)值最接近1時所對應的函數模型，點擊“Fit鍵”（如果剛剛點擊過“Fit till converged鍵”，此時則會變為“OK鍵”）。

此時，Origin軟件的輸出結果就是所求的函數模型。其中：Notes表格中的Equation就是所求函數模型的表達式；Parameters表格中顯示了函數模型各個參數的數值；Statistics表格中顯示了函數模型的“殘差平方和”與“調整後的決定係數”的數值；Fitted Curves Plot表格中顯示了函數模型的擬合曲線。

下面以一個一元函數模型

為例，對Origin軟件法予以説明。已知x_i、y_i值（i=1~21）如下表所示：

按照上節所述，接下來的操作步驟就是：

（1）打開Origin軟件，新建Workbook文件，在操作界面中輸入表1中x_i、y_i（i=1~21）這兩列數據；

（2）選中上述兩列數據，按下快捷鍵“Ctrl+Y”，從而打開了“曲線擬合”對話框。

（3）在Settings選項卡中，在Category下拉菜單中選擇“Origin Basic Functions”，在Function下拉菜單中選擇“Sine”。此時，在Fit Curve選項卡窗口中可以看到Sine函數模型的擬合曲線，在Formula選項卡中可以看到Sine函數模型的表達式。觀察後發現Sine函數模型擬合曲線的擬合度看上去不高，遂重新選擇函數模型。

重複上述操作，在Settings選項卡中，在Category下拉菜單中仍然選擇“Origin Basic Functions”，在Function下拉菜單中選擇“Gauss”。此時，在Fit Curve選項卡窗口中觀察Gauss函數模型的擬合曲線，發現曲線的擬合度看上去較高。

（4）點擊“Fit鍵”左邊的“Fit till converged鍵”。點擊Messages選項卡，觀察此窗口中顯示的COD(R^2)值為0.978，記錄下此時所選擇的函數模型——Gauss。

（5）重複第（3）（4）步——選擇不同的函數模型。本例中則是繼續在Category下拉菜單中選擇“Statistics”，在Function下拉菜單中選擇“Extreme”。此時，在Fit Curve選項卡窗口中觀察Extreme函數模型的擬合曲線，發現曲線的擬合度看上去較高，點擊“Fit鍵”左邊的“Fit till converged鍵”。點擊Messages選項卡，觀察此窗口中顯示的COD(R^2)值為0.990，記錄下此時所選擇的函數模型——Extreme。

（6）根據第（3）（4）（5）步的結果，選擇COD(R^2)值最接近1時所對應的函數模型——Extreme，點擊“OK鍵”得到最終輸出結果。

此時，Origin軟件的輸出結果就是所求的函數模型。其中：Notes表格中的Equation就是所求函數模型的表達式，為

——其中y₀、x_c、w、A為模型參數；Parameters表格中顯示了函數模型4個參數的數值，它們分別為y₀=254.65、x_c=0.86、w=0.27、A=56703.22；Statistics表格中顯示了函數模型的“殘差平方和”與“調整後的決定係數”的數值，它們分別為8.16×10⁷和0.99；Fitted Curves Plot表格中顯示了函數模型的擬合曲線如下所示：

C語言程序法適用於一元函數模型和多元函數模型的擬合，它適用於“函數模型已經建立，但其參數尚未確定”的情形。例如：已經運用數學方法建立了雙參數函數模型

，接下來的函數模型擬合步驟就是：

（1）確定參數a₁、a₂的取值範圍：例如

、

，且a₁、a₂為整數。

（2）藉助C語言程序，利用窮舉法，將a₁、a₂所有可能的取值都分組一一代入到函數模型

中去，求出每組a₁、a₂值所對應的函數模型的“殘差平方和”。

（3）根據“最小二乘法”，記錄下使函數模型的殘差平方和取得最小值時的a₁、a₂值——a₁'、a₂'。

（4）將a₁'、a₂'代入到函數模型

中，得到

，函數模型擬合完畢。

另外，除了“殘差平方和”之外，“決定係數”和“調整後的決定係數”也可以作為函數模型擬合的指標來使用。 ^[1] 

下面以一個一元函數模型

為例，對C語言程序法予以説明。已知x_i、y_i值（i=1~21）如第2.1.2節中表1所示。首先，已經運用數學方法建立了三參數一元函數模型

，其中m、n₁、n₂為待定參數。接下來的函數模型擬合步驟就是：

（1）確定參數m、n₁、n₂的取值範圍。本例中：

，

，且n₁、n₂為整數；

，且m為100的倍數——為了便於計算。

（2）藉助C語言程序，利用窮舉法，將m、n₁、n₂所有可能的取值都分組一一代入到函數模型

中去，求出每組m、n₁、n₂值所對應的函數模型的“殘差平方和”。

（3）根據“最小二乘法” ^[2]  ，記錄下使函數模型的殘差平方和取得最小值時的m、n₁、n₂值——m'=41800、n₁'=21、n₂'=322。

（4）將m'、n₁'、n₂'值代入到函數模型

中，得到

，函數模型擬合完畢。此函數模型的擬合曲線如圖1所示：

函數模型的計算機擬合方法分為“Origin軟件法”和“C語言程序法”兩種：Origin軟件法是利用Origin軟件的“曲線擬合”命令，直接選擇Origin軟件所提供的函數模型，將含參數的函數模型擬合出來，它適用於一元函數模型的擬合；C語言程序法是用數學方法首先建立含參數的函數模型，然後再利用C語言程序確定函數模型中的參數，它適用於一元函數模型和多元函數模型的擬合。上述兩種方法各有利弊：