抽象函數

不給出具體解析式，只給出函數的特殊條件或特徵的函數即抽象函數。一般形式為

，或許還附有定義域、值域等，如：

,

。

冪函數：

；

正比例函數：

；

對數函數：

；

指數函數：

；

三角函數：

其中

；

週期為

的週期函數：

。

例 1 函數

為滿足

的函數，且

在定義域

上單調遞增，且

。求證：

。

證明 定義域：相同

∵f(1)=f(2)+f(1/2)∴f(1/2)=-1同理f(1/x)=-f(x)

∵f(x^k)=f(x*x*……*x*x)【k個x】=f(x)+f(x)+……+f(x)+f(x)【k個f(x)】=k*f(x),k∈Z且k>0(x=2時f(x^k)=k) ①

f(x^k)=f((1/x)^(-k))=f((1/x)*(1/x)*……*(1/x)*(1/x))【-k個(1/x)】=f(1/x)+f(1/x)+……+f(1/x)+f(1/x)【-k個】=(-k)*f(1/x),k∈Z且k<0（x=2時，f(x^k)=-k*f(1/2)=k）

f(x^0)=f(1)=0=0*f(x)(x=2時，f(x^k)=k=0)

∴f(2^k)=k,k∈Z②

∵p*f(2^(1/p))=f((2^(1/p))^p)=f(2^(1/p*p))=f(2)=1,k<>0且p∈Z(①)

∴f(2^(1/p))=1/p,p∈Z且p<>0

又∵② ∴f(2^(k/p))=f((2^(1/p))^k)=k*f(2^(1/p))=k*(1/p)*f(2)=k/p即f(2^m)=m對所有有理數成立 ③

任取z∈R，{1}若f(2^z)<z,z必定為f(y),y>2^z(由於單調性以及③)，

在(2^z,y)上必定有q=2^(z+n),z+n為有理數，n>0,

f(q)=z-n<f(y)=z(單調性)與n>0矛盾，導出矛盾所以f(2^z)<z不成立

{2}同理f(2^z)>z不成立

又∵2^z>0，有定義域

所以f(2^z)=z

令x=2^z>0,f(x)=z=以二為底2^z的對數=以二為底x的對數

證畢。（若沒有單調性要先證單調性）

f(m+x)=f(n-x) 對稱軸為(m+n)/2

關於

對稱

週期為

特殊值法是處理抽象函數選擇題的有力方法。根據抽象函數具有的性質，選擇一個熟悉的函數作為特殊值代入驗證，可以解決大部分選擇題。

例 2 定義在

上的函數

滿足

，

當

時，

，則函數

在

上 ( )

A　有最小值

　 B　有最大值

　 C　有最小值

　 D　有最大值

分析 許多抽象函數是由特殊函數抽象背景而得到的，如正比例函數

，可抽象為

，與此類似的還有

此題作為選擇題可採用特殊值函數

當

時

，可得

在

上單調遞減，從而在

上有最小值

.

根據所要證明的或求解的問題使自變量取某些特殊值，從而解決問題。

例 2 除了用剛才的方法外,也可採用賦值法

解 令

，則由

得

,

再令

得

得

, 代入①式得

.

得

是一個奇函數，圖像關於原點對稱。

∵當x <0時，f (x) >0，

即f (x)在R上是一個減函數，可得f (x)在[a,b]上有最小值f(b)。

抽象函數雖然沒有給出具體的解析式，但可利用它的圖象性質直接來解題，有以下結論：

結論

若函數

滿足

，則函數

的圖象關於

對稱 .

結論

若函數

滿足

，則函數

是一個週期函數，週期為

.

例 3

是定義在

上的偶函數，且

，證明

是週期函數.

分析 由

，得

的圖象關於

對稱，又

是定義在

上的偶函數，圖象關於

軸對稱，根據上述條件，可先畫出符合條件的一個圖，那麼就可以化無形為有形，化抽象為具體。從圖上直觀地判斷，然後再作證明。

由圖可直觀得

, 要證其為週期函數 , 只需證

.

證明

是一個週期函數.

例 4 已知定義在

上的偶函數

在區間

上單調遞減 ，

若

,求實數

的取值範圍 .

分析 根據函數的定義域，

，但是1- m和m分別在

和

的哪個區間內是未知的。如果就此討論，將十分複雜，如果注意到偶函數

有性質

，就可避免複雜的討論。

如圖所示。