宋元數學四大家

秦九韶（公元1202－1261年），字道古，安嶽人。秦九韶與李冶、楊輝、朱世傑並稱宋元數學四大家。其父秦季棲，進士出身，官至上部郎中、秘書少監。秦九韶聰敏勤學。宋紹定四年（1231），秦九韶考中進士，先後擔任縣尉、通判、參議官、州守、同農、寺丞等職。先後在湖北、安徽、江蘇、浙江等地做官，1261年左右被貶至梅州，不久死於任所。他在政務之餘，對數學進行虔心鑽研，並廣泛蒐集歷學、數學、星象、音律、營造等資料，進行分析、研究。 宋淳祜四至七年（1244至1247），他在為母親守孝時，把長期積累的數學知識和研究所得加以編輯，寫成了聞名的鉅著《數書九章》，並創造了“大衍求一術”。這不僅在當時處於世界領先地位，在近代數學和現代電子計算設計中，也起到了重要作用，被稱為“中國剩餘定理”。他所論的“正負開方術”，被稱為“秦九韶程序”。現在，世界各國從小學、中學到大學的數學課程，幾乎都接觸到他的定理、定律和解題原則。秦九韶在數學方面的研究成果，比英國數學家取得的成果要早800多年。秦九韶字道古．普州安嶽(今四川安嶽)人．南宋嘉泰二年(1202年)生；約景定二年(1261年)卒於梅州。

秦九韶祖籍魯郡(今河南範縣)，其父秦季槱，字宏父，紹熙四年(1193)進士，後任巴州(今四川巴中)守．嘉定十二年(1219)三月，興元(今陝西漢中)軍士張福、莫簡等發動兵變，入川后攻取利州(今廣元)、閬州(今閬中)、果州(今南充)、遂寧(今遂寧)、普州(今安嶽)等地．在譁變軍隊進佔巴州時，秦季槱棄城逃走，攜全家輾轉抵達南宋都城臨安(今杭州)．在臨安，秦季槱曾任工部郎中和秘書少監等官職．寶慶元年(1225)六月，被任命為潼川知府，返回四川．

秦九韶自幼生活在家鄉，18歲時曾“在鄉里為義兵首”，後隨父親移居京部．他是一位非常聰明的人，處處留心，好學不倦．其父任職工部郎中和秘書少監期間，正是他努力學習和積累知識的時候．工部郎中掌管營建，而秘書省則掌管圖書，其下屬機構設有太史局，因此，他有機會閲讀大量典籍，並拜訪天文曆法和建築等方面的專家，請教天文曆法和土木工程問題，甚至可以深入工地，瞭解施工情況．他又曾向“隱君子”學習數學．他還向著名詞人李劉學習駢儷詩詞，達到較高水平．通過這一階段的學習，秦九韶成為一位學識淵博、多才多藝的青年學者，時人説他“性極機巧，星象、音律、算術，以至營造等事，無不精究”，“遊戲、毬、馬、弓、劍，莫不能知．”

1225年，秦九韶隨父親至潼川，擔任過一段時間的縣尉．數年後，李劉曾邀請他到南宋國史院校勘書籍文獻，但未成行．端平三年(1236)元兵攻入四川，嘉陵江流域戰亂頻仍，秦九韶不得不經常參與軍事活動．他後來在《數書九章》序中寫道：“際時狄患，歷歲遙塞，不自意全於矢石間，嘗險罹憂，荏苒十祀，心槁氣落”，真實地反映了這段動盪的生活．由於元兵進逼和潰卒騷亂，潼川已難以安居，於是他再度出川東下，先後擔任過蘄州(今湖北蘄春)通判及和州(今安徽和縣)守，最後定居湖州(今浙江吳興)．秦九韶在任和州守期間，利用職權販鹽，強行賣給百姓，從中牟利．定居湖州後，所建住宅“極其宏敞”，“後為列屋，以處秀姬、管絃”．據載，他在湖州生活奢華，“用度無算”． 淳祐四年(1244)八月，秦九韶以通直郎為建康府(今江蘇南京)通判，十一月因母喪離任，回湖州守孝．在此期間，他專心致志研究數學，於淳祐七年(1247)九月完成數學名著《數書九章》．由於在天文曆法方面的豐富知識和成就，他曾受到皇帝召見，闡述自己的見解，並呈有奏稿和“數學大略”(即《數書九章》)．

寶祐二年(1254)，秦九韶回到建康，改任沿江制置使參議，不久去職．此後，他極力攀附和賄賂當朝權貴賈似道，得於寶祐六年(1258)任瓊州守，但三個月後被免職．同時代的劉克莊説秦九韶“到郡(瓊州)僅百日許，郡人莫不厭其貪暴，作卒哭歌以快其去”，周密亦説他“至郡數月，罷歸，所攜甚富”．看來，由於他在瓊州的貪暴，百姓極為不滿．秦九韶從瓊州回到湖州後，投靠吳潛，得到吳潛賞識，兩人關係甚密．吳潛曾相繼在開慶元年(1259)擬任以司農寺丞，景定元年(1260)擬任以知臨江軍(今江西清江)，都因遭到激烈反對而作罷．在這段時間裏，秦九韶熱衷於謀求官職，追逐功名利祿，在科學上沒有顯著成績．在南宋統治集團內部的激烈鬥爭中，吳潛被罷官貶謫，秦九韶也受到牽連．約在景定二年(1261)，他被貶至梅州做地方官，“在梅治政不輟”，不久便死於任所．

秦九韶在數學上的主要成就是系統地總結和發展了高次方程數值解法和一次同餘組解法，提出了相當完備的“正負開方術”和“大衍求一術”，達到了當時世界數學的最高水平．

安嶽修建的秦九韶紀念館，恢宏壯觀，雄偉氣派。

嘉定元年（1208）春出生在普州，

紹定二年（1229）十月，秦九韶擢郪縣縣尉，

紹定四年（1231）八月，秦九韶參與魏了翁平抑瀘州蠻夷，葺其城樓櫓雉堞，

紹定五年（1232）八月乙丑進士，紹定六年，秦九韶在魏了翁帶領吳潛等督視潼川府路、成都府路時認識吳潛，魏了翁和吳潛同秦九韶去拜望病中的許奕。

端平三年（1236）一月，秦九韶擢升湖北蘄州（今湖北蘄春縣）通判，

嘉熙元年（1237）年秋，秦九韶知和州（今安徽和縣）

嘉熙二年（1238），秦九韶回臨安丁父憂，秦九韶在杭州丁父憂期中，發現西溪兩岸的羣眾過河很不方便，在西溪上設計修建一座橋，名“西溪橋”，數學家朱世傑為紀念秦九韶，將橋命名為“道古橋”。

嘉熙三年（1239），秦九韶在杭州處理完父親的後事之後，便和母親、妻子回到湖州西門外父親早年備置的宅第，繼續丁父憂。秦九韶在湖州丁父憂期中，與知慶元府（浙江寧波）吳潛交尤稔，着手改建父親備置的住宅。

淳祐三年六月，吳潛回湖州丁母憂，秦九韶與被奪官的吳潛交往更是密切。

淳祐四年（1244），秦九韶以通直郎出任建康（南京）府通判，十一月，秦九韶丁母憂，解官離任，回湖州為近八旬的母親守靈，將潛心研究、用於實踐中的數學成果，著書《數學大略》。此時，吳潛也在湖州丁母憂，兩人交往甚猶。

淳祐八年（1248），《數學大略》得薦於朝。

淳祐九年（1249），目錄學家陳振孫，在編書目時向秦九韶請教，

淳祐十年（1250），秦九韶卸任建康通判，出任蘇州州守。

寶祐二年（1254），九韶出任江寧（江蘇南京）府知府、沿江制置司參議官，管理江南十府糧道，寶祐四年去職。

寶祐六年（1258），秦九韶由賈似道薦於李曾伯為瓊州守，凡數月去之。

開慶元年（1259）十月，吳潛第二次入相，秦九韶有江東（江蘇南京）議幕之除。又除司農丞前去平江（府治在今蘇州市）措置米餫，俱以事罷。

景定元年（1260），秦九韶知臨江軍（江西清江縣西臨江鎮，南宋為臨江軍，轄清江、新喻、等縣）。

景定二年（1261）六月，秦九韶廣東梅州知軍州事。

鹹淳四年（1268）二月，秦九韶在梅州治政近六年左右，得知朝廷為吳潛追復爵祿，了卻心中惦念的沉冤，在梅州辭世，時年六十一歲。

秦九韶的數學成就基本表現在他寫的《數書九章》之中。然而，這本書在當時並沒有引起大的影響，稍後的楊輝、朱世傑都沒有引徵過秦九韶的成果。《數書九章》的主要內容偏重於數學的應用方面，全書八十一道題目都是結合當時的實際需要提出的問題。

秦九韶潛心研究數學多年，在湖州守孝三年，所寫成的世界數學名著《數書九章》，《癸辛雜識續集》中稱作《數學大略》，《永樂大典》稱作中《數書九章》。全書九章十八卷，九章九類：“大衍類”、“天時類”、“田域類”、“測望類”、“賦役類”、“錢穀類”、“營建類”、“軍旅類”、“市物類”，每類9題（9問）共計81題（81問），該書內容豐富至極，上至天文、星象、歷律、測候，下至河道、水利、建築、運輸，各種幾何圖形和體積，錢穀、賦役、市場、牙釐的計算和互易。許多計算方法和經驗常數直到現在仍有很高的參考價值和實踐意義，被譽為“算中寶典”。該書著述方式，大多由“問曰”、“答曰”、“術曰”、“草曰”四部分組成：“問曰”，是從實際生活中提出問題；“答曰”，給出答案；“術曰”，闡述解題原理與步驟；“草曰”，給出詳細的解題過程。此書已為國內外科學史界公認的一部世界數學名著。此書不僅代表着當時中國數學的先進水平，也標誌着中世紀世界數學的最高水平。我國數學史家梁宗巨評價道：“秦九韶的《數書九章》（1247年）是一部劃時代的鉅著，內容豐富，精湛絕倫。特別是大衍求一術（不定方程的中國獨特解法）及高次代數方程的數值解法，在世界數學史上佔有崇高的地位。那時歐洲漫長的黑夜猶未結束，中國人的創造卻像旭日一般在東方發出萬丈光芒。”

中國古代求解一類大衍問題的方法。大衍問題源於《孫子算經》中的“物不知數”問題：“今有物，不知其數，三三數之剩二，五五數之剩三，七七數之剩二，問物幾何？”這是屬於現代數論中求解一次同餘式方程組問題。宋代數學家秦九韶在《數書九章》（1247年成書）中對此類問題的解法作了系統的論述，並稱之為大衍求一術。九韶的“大衍求一術”，領先卡爾·弗里德里希·高斯554年，被康托爾稱為“最幸運的天才”。秦九韶所發明的“大衍求一術”，即現代數論中一次同餘式組解法，是中世紀世界數學的最高成就，比西方1801年著名數學家高斯（Gauss，1777—1855年）建立的同餘理論早554年，被西方稱為“中國剩餘定理”。秦九韶不僅為中國贏得無上榮譽，也為世界數學作出了傑出貢獻。

秦九韶的任意次方程的數值解領先霍納572年。秦九韶在《數書九章》中除“大衍求一術”外，還創擬了正負開方術，即任意高次方程的數值解法，也是中世紀世界數學的最高成就，秦九韶所發明的此項成果比1819年英國人霍納（W·G·Horner，1786—1837年）的同樣解法早572年。秦九韶的正負方術，列算式時，提出“商常為正，實常為負，從常為正，益常為負”的原則，純用代數加法，給出統一的運算規律，並且擴充到任何高次方程中去。

一次方程組解法

此外，秦九韶還改進了一次方程組的解法，用互乘對減法消元，與現今的加減消元法完全一致；同時秦九韶又給出了籌算的草式，可使它擴充到一般線性方程中的解法。在歐洲最早是1559年布丟（Buteo，約1490—1570年，法國）給出的，他開始用不很完整的加減消元法解一次方程組，比秦九韶晚了312年，且理論上的不完整也遜於秦九韶。

秦九韶還創用了“三斜求積術”等，給出了已知三角形三邊求三角形面積公式，與海倫（Heron，公元50年前後）公式完全一致。秦九韶還給出一些經驗常數，如築土問題中的“堅三穿四壤五，粟率五十，牆法半之”等，即使對現在仍有現實意義。秦九韶還在十八卷77問“推計互易”中給出了配分比例和連鎖比例的混合命題的巧妙且一般的運算方法，至今仍有意義。

李冶生於大興（今北京市大興縣），父親李通為大興府推官。李冶自幼聰敏，喜愛讀書，曾在元氏縣（今河北省元氏縣）求學，對數學和文學都很感興趣。《元朝名臣事略》中説：“公（指李冶）幼讀書，手不釋卷，性穎悟，有成人之風。”

李冶的父親李遹是位博學多才的學者，曾在大興府尹胡沙虎手下任推官，母親姓王．李冶有兩個同父異母的弟兄，兄名澈，劉氏所生；弟名滋，崔氏所生；還有兩個同胞姐妹．李冶原名治，後來發現與唐高宗相同，於是減去一點，改為冶．

李冶出生的時候，金朝正由盛而衰．章宗即位(1190)後，官僚政治日趨腐敗．由於管理不善，釀成了連年水災．再加上對外戰爭及任意揮霍，金朝出現了財政危機，於是濫發紙幣，致使物價飛漲，國虛民窮．泰和八年(1208)，金章宗病死，衞紹王允濟即皇帝位．這時蒙古軍隊加緊向金朝進攻，腐朽的金朝內已潛伏着亡國的危機．李遹的上司胡沙虎是一個深得朝廷寵信的奸臣，“聲勢炎炎，人莫敢仰視”，動輒打罵同僚，欺壓百姓，甚至“虐殺不辜”．李遹見他無惡不作，常常據理力爭，置個人生死禍福於度外．只因為官謹慎，才免遭毒手．李遹為了防備不測，便把老小送回故鄉欒城．這時李冶正是童年，他沒有隨家人回鄉而獨自到欒城的鄰縣元氏求學去了．至寧元年(1213)，由於胡沙虎篡權亂政，李遹被迫辭職，隱居陽翟(今河南禹縣)，從此不再過問政事．他吟詩作畫，在當地頗有名聲．

父親的正直為人及好學精神對李冶深有影響．在李冶看來，學問比財富更可貴．他説：“積財千萬，不如薄技在身”，又説：“金璧雖重寶，費用難貯蓄．學問藏之身，身在即有餘．”他在青少年時期，對文學、史學、數學、經學都感興趣，曾與好友元好問外出求學，拜文學家趙秉文、楊雲翼為師，不久便名聲大振．

1230年，李冶在洛陽考中詞賦科進士，正大七年(1230)，李冶赴洛陽應試，被錄取為詞賦科進土，時人稱讚他“經為通儒，文為名家”．同年得高陵(今陝西高陵)主簿官職，但蒙古窩闊台軍已攻入陝西，所以沒有上任．接着又被調往陽翟附近的鈞州(今河南禹縣)任知事，為官清廉、正直。1232年正月，鈞州城被蒙古軍隊攻破。李冶不願投降，只好換上平民服裝，走上了漫長而艱苦的流亡之路。這是他一生的重要轉折點，將近50年的學術生涯便由此開始了。

李冶北渡後流落於山西的忻縣、崞縣之間，過着“飢寒不能自存”的生活．一年以後(1233)，汴京(今河南開封)陷落，元好問也棄官出京，到山西避難．1234年初，金朝終於為蒙古所滅，李冶與元好問都感到政事已無可為，於是潛心學問．李冶經過一段時間的顛沛流離之後，定居於崞山（今山西崞縣）的桐川。1234年初，金朝終於為蒙古所滅。金朝的滅亡給李冶生活帶來不幸，但由於他不再為官，這在客觀上使他的科學研究有了充分的時間。他在桐川的究工作是多方面的，包括數學、文學、歷史、天文、哲學、醫學。其中最有價值的工作是對天元術進行了全面總結，寫成數學史上的不朽名著——《測圓海鏡》。他的工作條件是十分艱苦的，不僅居室狹小，而且常常不得温飽，要為衣食而奔波。但他卻以著書為樂，從不間斷自己的寫作。據《真定府志》記載，李冶“聚書環堵，人所不堪”，但卻“處之裕如也”。他的學生焦養直説他：“雖飢寒不能自存，亦不恤也”，在“流離頓挫”中“亦未嘗一日廢其業”。經過多年的艱苦奮鬥，李冶的《測圓海鏡》終於在l248年完稿。它是我國現存最早的一部系統講述天元術的著作。

1251年，李冶的經濟情況有所好轉，他結束了在山西的避難生活，回元氏縣封龍山定居，並收徒講學。李冶的學生越來越多，家裏逐漸容納不下了，於是師生共同努力，在北宋李遹讀書堂故基上建起封龍書院．李冶在書院不僅講數學，也講文學和其他知識．他嘔心瀝血，培養出大批人才，並常在工作之餘與元好問、張德輝一起遊封龍山，被稱為“龍山三老”．1257年在開平（今內蒙古正藍旗）與金朝遺老竇默、姚樞、李俊民等多人接受忽必烈召見，又派董文用專程去請李冶，説：“素聞仁卿學優才贍，潛德不耀，久欲一見，其勿他辭．”同年五月，李冶在開平(今內蒙古正藍旗)見忽必烈，陳述了自己的政治見解：“為治之道，不過立法度、正紀綱而已．紀綱者，上下相維持；法度者，賞罰示懲勸．”在談到人才問題時，他説：“天下未嘗乏材，求則得之，舍則失之，理勢然耳．”最後，他向忽必烈提出“辨奸邪、去女謁、屏饞慝、減刑罰、止征伐”五條政治建議，得到忽必烈的讚賞。

李冶會見忽必烈之後，回封龍山繼續講學著書，於1259年寫成另一部數學著作——《益古演段》．1260年，忽必烈即皇帝位，是為元世祖．第二年七月建翰林國史院於開平，聘請李冶擔任清高而顯要的工作——翰林學士知制誥同修國史．但李冶卻以老病為辭，婉言謝絕了．從時代背景及李冶思想分析，他拒絕應聘的原因有二．第一，蒙古統治者沒有接受李冶“止征伐”的建議，而是大舉攻宋，從而引起李冶不滿；第二，忽必烈初登帝位，其弟阿里不哥不服，起兵反抗，蒙古統治區陷入連年內戰．李冶是不願在這種動盪的局勢下作官的．他説：“世道相違，則君子隱而不仕．”

忽必烈降服阿里不哥、平定蒙古內亂後，再召李冶為翰林學士知制誥同修國史．李冶於至元二年(1265)來到燕京(今北京)，勉強就職，參加修史工作．但他不久便感到翰林院裏思想不自由，處處都要秉承統治者的旨意而不能暢所欲言．因此，他在這裏工作一年之後便以老病辭職了．李冶是個追求思想自由的人，尤其不願在學術上唯命是從．他説：“翰林視草，唯天子命之；史館秉筆，以宰相監之．特書佐之流，有司之事，非作者所敢自專而非非是是也．今者猶以翰林、史館為高選，是工諛譽而善緣飾者為高選也．吾恐識者羞之．”

李冶辭職後一直在封龍山下講學著書．他在晚年完成的《敬齋古今黈(音tǒu)》與《泛説》是兩部內容豐富的著作．《泛説》一書今已不存，據《元朝名臣事略》中的幾段引文及書名來看，這是一本隨感錄，記錄李冶對各種事物的見解．《敬齋古今黈》則是一本讀書筆記，“上下千古，博極羣書”，在文史方面頗有獨到見解．另外，李冶作過不少詩，其中有五首保存在《元詩選癸集》中．從這些詩來看，李冶的文學造詣相當深．李冶還著有《文集》40卷與《璧書叢削》12卷，均已失傳。1279年，李冶病逝於元氏。李冶在數學上的主要成就是總結並完善了天元術，使之成為中國獨特的半符號代數。這種半符號代數的產生，要比歐洲早三百年左右。他的《測圓海鏡》是天元術的代表作，而《益古演段》則是一本普及天元術的著作。

李冶一生著作雖多，但他最得意的還是《測圓海鏡》。他在彌留之際對兒子克修説：“吾平生著述，死後可盡燔去．獨《測圓海鏡》一書，雖九九小數，吾常精思致力焉，後世必有知者．庶可布廣垂永乎？”

李冶的數學研究是以天元術為主攻方向的．這時天元術雖已產生，但還不成熟，就像一棵小樹一樣，需要人精心培植．李冶用自己的辛勤勞動，使它成長為一棵枝葉繁茂的大樹。

所謂天元術，就是一種用數學符號列方程的方法，“立天元一為某某”相當於今“設x為某某”是一致的。在中國，列方程的思想可追溯到漢代的《九章算術》，書中用文字敍述的方法建立了二次方程，但沒有明確的未知數概念。到唐代，王孝通已經能列出三次方程，但仍是用文字敍述的，而且尚未掌握列方程的一般方法。經過北宋賈憲、劉益等人的工作，求高次方程正根的問題基本解決了。隨着數學問題的日益複雜，迫切需要一種普遍的建立方程的方法，天元術便在北宋應運而生了、洞淵、石信道等都是天元術的先驅。但直到李冶之前，天元術還是比較幼稚的，記號混亂、複雜，演算煩瑣。例如李冶在東平（今山東省東平縣）得到的一本講天元術的算書中，還不懂得用統一符號表示未知數的不同次冪，它“以十九字識其上下層，曰仙、明、霄、漢、壘、層、高、上、天、人、地、下、低、減、落、逝、泉、暗、鬼。”這就是説，以“人”字表示常數，人以上九字表示未知數的各正數次冪（最高為九次），入以下九字表示未知數的各負數次冪（最低也是九次），其運算之繁可見一斑。從稍早於《測圓海鏡》的《鈴經》等書來看，天元術的作用還十分有限。李冶則在前人的基礎上，將天元術改進成一種更簡便而實用的方法。當時，北方出了不少算書，除《鈴經》外，還有《照膽》、《如積釋鎖》、《復軌》等，這無疑為李冶的數學研究提供了條件。特別值得一提的是，他在桐川得到了洞淵的一部算書，內有九客之説，專講勾股容圓問題。此書對他啓發甚大。為了能全面、深入地研究天元術，李冶把勾股容圓（即切圓）問題作為一個系統來研究。他討論了在各種條件下用天元術求圓徑的問題，寫成《測圓海鏡》十二卷，這是他一生中的最大成就。

《測圓海鏡》不僅保留了洞淵九容公式，即9種求直角三角形內切圓直徑的方法，而且給出一批新的求圓徑公式。卷一的"識別雜記"闡明瞭圓城圖式中各勾股形邊長之間的關係以及它們與圓徑的關係，共六百餘條，每條可看作一個定理（或公式），這部分內容是對中國古代關於勾股容圓問題的總結。後面各卷的習題，都可以在“識別雜記”的基礎上以天元術為工具推導出來。李冶總結出一套簡明實用的天元術程序，並給出化分式方程為整式方程的方法。他發明了負號和一套先進的小數記法，採用了從零到九的完整數碼。除O以外的數碼古已有之，是籌式的反映。但籌式中遇O空位，沒有符號O。從現存古算書來看，李冶的《測圓海鏡》和秦九韶《數書九章》是較早使用O的兩本書，它們成書的時間相差不過一年。《測圓海鏡》重在列方程，對方程的解法涉及不多。但書中用天元術導出許多高次方程（最高為六次），給出的根全部準確無誤，可見李冶是掌握高次方程數值解法的。

《測圓海鏡》不僅是我國現存最早的一部天元術著作，而且在體例上也有創新．全書基本上是一個演繹體系，卷一包含了解題所需的定義、定理、公式，後面各卷問題的解法均可在此基礎上以天元術為工具推導出來．李冶之前的算書，一般採取問題集的形式，各章(卷)內容大體上平列．李冶以演繹法著書，這是中國數學史上的一個進步．

《測圓海鏡》的成書標誌着天元術成熟，對後世有深遠影響．元代王恂、郭守敬在編《授時歷》的過程中，曾用天元術求周天弧度．不久，沙克什用天元術解決水利工程中的問題，收到良好效果．元代大數學家朱世傑説：“以天元演之、明源活法，省功數倍．”清代阮元説：“立天元者，自古算家之秘術；而海鏡者，中土數學之寶書也．”

《測圓海鏡》的成書標誌着天元術成熟，它無疑是當時世界上第一流的數學著作。但由於內容較深，粗知數學的人看不懂。而且當時數學不受重視，所以天元術的傳播速度較慢。李冶清楚地看到這一點，他堅信天元術是解決數學問題的一個有力工具，同時深刻認識到普及天元術的必要性。他在結束避難生活、回元氏縣定居以後，許多人跟他學數學，促使他寫一本深入淺出、便於教學的書，《益古演段》便是在這種情況下寫成的。《測圓海鏡》的研究對象是離生活較遠而自成系統的圓城圖式，《益古演段》則把天元術用於解決實際問題，研究對象是日常所見的方、圓面積。李冶大概認識到，天元術是從幾何中產生的。因此，為了使人們理解天元術，就需回顧它與幾何的關係，給代數以幾何解釋，而對二次方程進行幾何解釋是最方便的，於是便選擇了以二次方程為主要內容的《益古集》（11世紀蔣周撰）。正如《四庫全書·益古演段提要》所説：“此法（指天元術）雖為諸法之根，然神明變化，不可端倪，學者驟欲通之，茫無門徑之可入。惟因方圓冪積以明之，其理尤屆易見。”李冶是很樂於作這種普及工作的，他在序言中説：“使粗知十百者，便得入室啖其文，顧不快哉！”

《益古演段》全書64題，處理的主要是平面圖形的面積問題，所求多為圓徑、方邊、周長之類．除四道題是一次方程外，全是二次方程問題，內容安排基本上是從易到難．李冶在完成《測圓海鏡》之後寫《益古演段》，他對天元術的運用自然會更加熟練．但他卻沒有像前者那樣，完全用天元術解題．書中新舊二術並列，新術是李冶的代數方法——天元術；舊術是蔣周的幾何方法——條段法，這是一種圖解法，因為方程各項常用一段一段的條形面積表示，所以得名．該書揭示了兩者的聯繫與區別，對我們瞭解條段法向天元術的過渡、探討數學發展規律有重要意義．書中常用人們易懂的幾何方法對天元術進行驗證，這對於人們接受天元術是有好處的．該書圖文並茂，深入淺出，不僅利於教學，也便於自學．正如硯堅序中的評價：“説之詳，非若溟津黯淡之不可曉；析之明，非若淺近粗俗之無足觀．”這些特點，使它成為一本受人們歡迎的數學教材，對天元術的傳播發揮了不小的作用．

在數學理論上，《益古演段》也有創新．該書的問題同《測圓海鏡》不同，所求量不是一個而是兩個、三個甚至四個．按古代方程理論：“二物者再程，三物者三程，皆如物數程之．”應該用方程組來解，所含方程個數與所求量個數一致．但解二次方程組要比解一元方程困難得多．李冶既已完善了天元術程序，便力圖提高它的一般化程度，用以解決各種多元問題．他的主要方法是利用出入相補原理(即“一個平面圖形從一處移置他處，面積不變．又若把圖形分割成若干塊，那麼各部分面積的和等於原來圖形的面積，因而圖形移置前後諸面積間的和、差有簡單的相等關係．”吳文俊語)及等量關係來減少未知數，化多元為一元，找到關鍵的天元一．一旦這個天元一求出來，其他要求的量就可根據與天元一的關係，很容易求出了．

《益古演段》的價值不僅在於普及天元術，理論上也有創新首先，李冶善於用傳統的出入相補原理及各種等量關係來減少題目中的未知數個數，化多元問題為一元問題。其次，李冶在解方程時採用了設輔助未知數的新方法，以簡化運算。

楊輝，中國南宋時期傑出的數學家和數學教育家。在13世紀中葉活動於蘇杭一帶，其著作甚多。

他著名的數學書共五種二十一卷。著有《詳解九章算法》十二卷（1261年）、《日用算法》二卷（1262年）、《乘除通變本末》三卷（1274年）、《田畝比類乘除算法》二卷（1275年）、《續古摘奇算法》二卷（1275年）。 楊輝的數學研究與教育工作的重點是在計算技術方面，他對籌算乘除捷算法進行總結和發展，有的還編成了歌決，如九歸口決。

他在《續古摘奇算法》中介紹了各種形式的"縱橫圖"及有關的構造方法，同時"垛積術"是楊輝繼沈括"隙積術"後，關於高階等差級數的研究。楊輝在"纂類"中，將《九章算術》246個題目按解題方法由淺入深的順序，重新分為乘除、分率、合率、互換、二衰分，勾股等九類。

他非常重視數學教育的普及和發展，在《算法通變本末》中，楊輝為初學者制訂的"習算綱目"是中國數學教育史上的重要文獻。

楊輝一生留下了大量的著述，它們是：《詳解九章算法》12卷(1261年)，《日用算法》2卷(1262年)，《乘除通變本末》3卷(1274年，第3卷與他人合編)，《田畝比類乘除捷法》2卷(1275年)，《續古摘奇算法》2卷(1275年，與他人合編)，其中後三種為楊輝後期所著，一般稱之為《楊輝算法》。

《詳解九章算法》現傳本已非全帙，編排也有錯亂。從其序言可知，該書乃取魏劉微注、唐李淳風等註釋、北宋賈憲細草的《九章算術》中的80問進行詳解。在《九章算術》9卷的基礎上，又增加了3卷，一卷是圖，一卷是講乘除算法的，居九章之前；一卷是纂類，居書末今卷首圖、卷l乘除，卷2方田、卷3粟米、卷4衰分的衰分、反衰諸題、卷6商功的諸同功問題已佚。卷4衰分下半卷、卷5少廣存《永樂大典》殘卷中，其餘存《宜稼堂叢書》中。從殘本的體例看，該書對《九章算術》的詳解可分為：一、解題。內容為解釋名詞術語、題目含義、文字校勘以及對題目的評論等方面。二、明法、草。在編排上，楊輝採用大字將賈憲的法、草與自己的詳解明確區分出來。三、比類。選取與《九章算術》中題目算法相同或類似的問題作對照分析。四、續釋注。在前人基礎上，對《九章算術》中的80問進一步作註釋。楊輝的“纂類”，突破《九章算術》的分類格局，按照解法的性質，重新分為乘除、分率、合率、互換、衰分、疊積、盈不足、方程、勾股九類。

楊輝在《詳解九章算法》一書中還畫了一張表示二項式展開後的係數構成的三角圖形，稱做“開方做法本源”，現在簡稱為“楊輝三角”。

楊輝三角是一個由數字排列成的三角形數表，一般形式如下：

1

1 1

1 2 1

1 3 3 1

1 4 6 4 1

1 5 10 10 5 1

1 6 15 20 15 6 1

.....................................

楊輝三角最本質的特徵是，它的兩條斜邊都是由數字1組成的，而其餘的數則是等於它肩上的兩個數之和。

《日用算法》，原書不傳，僅有幾個題目留傳下來。從《算法雜錄》所引楊輝自序可知該書內容梗概：“以乘除加減為法，秤鬥尺田為問，編詩括十三首，立圖草六十六問。用法必載源流，命題須責實有，分上下卷。”該書無疑是一本通俗的實用算書。

《乘除通變本末》三卷，皆各有題，在總結民間對等算乘除法的改進上作出了重大貢獻。上卷叫《算法通變本末》，首先提出“習算綱目”，是數學教育史的重要文獻，又論乘除算法；中卷叫《乘除通變算寶》，論以加減代乘除、求一、九歸諸術；下卷叫《法算取用本末》，是對中卷的註解。

《田畝比類乘除捷法》，其上卷內容是《詳解九章算法》方田章的延展，所選例子非常貼近實際。下卷主要是對劉益工作的引述。楊輝在《田畝比類乘除捷法》序中稱“中山劉先生作《議古根源》。……撰成直田演段百間，信知田體變化無窮，引用帶從開方正負損益之法，前古之所未聞也。作術逾遠，罔究本源，非探噴索隱而莫能知之。輝擇可作關鍵題問者重為詳悉著述，推廣劉君垂訓之意。”《田畝比類乘除捷法》卷下徵引了《議古根源》22個問題，主要是二次方程和四次方程的解法。

《續古摘奇算法》上卷首先列出20個縱橫圖，即幻方。其中第一個為河圖，第二個為洛書，其次，四行、五行、六行、七行、八行幻方各兩個，九行、十行幻方各一個，最後有“聚五”“聚六”：聚八”“攢九”“八陣”“連環”等圖。有一些圖有文字説明，但每一個圖都有構造方法，使圖中各自然數“多寡相資，鄰壁相兼”湊成相等的和數。卷下評説《海島》也有極高的科學價值。

楊輝著作大都注意應用算術，淺近易曉。其著作還廣泛徵引數學典籍和當時的算書，中國古代數學的一些傑出成果，比如劉益的“正負開方術”，賈憲的“開方作法本源圖”“增乘開方法，”幸得楊輝引用，否則，今天將不復為我們知曉。

楊輝的數學研究與數學教育工作之重點在於改進籌算乘除計算技術，總結各種乘除捷算法，這是由當時的社會狀況決定的。唐代中期以後，社會經濟得到較大發展，手工業和商業交易都具有相當的規模，因而，人們在生產、生活中需要數學計算的機會，較前大大增加，這種情況迫切要求數學家們為人們提供便於掌握、快捷準確的計算方法。為適應社會對數學的這種需求，中晚唐時期出現了一些實用的算術書籍。但是，這些書籍除了《韓延算術》，被宋人誤認為《夏侯陽算經》而刊刻流傳到現在外，都已失傳。《韓延算術》大約編寫於公元770年前後，書中介紹了很多乘除捷法的例子。比如，某數乘以42可以化為某數乘以6，再乘以7；某數除以12可以化為某數除以2，再除以6。對於更復雜的問題可同樣處理。通過將乘數、除數分解為一位數，可以使運算在一行內實現，簡化了運算，提高了速度。韓延還介紹了其他一些簡捷算法。比如“身外添加四”、“隔位加二”。北宋科學家沈括也總結了增成、重因等捷算法。

楊輝生活在南宋商業發達的蘇杭一帶，進一步發展了乘除捷算法。他説：“乘除者本鈎深致遠之法。《指南算法》以‘加減’、‘九歸’、‘求一’旁求捷徑，學者豈容不曉，宜兼而用之。”在前人的基礎上，他提出了“相乘六法”：一曰“單因”，即乘數為一位數的乘法；二曰“重因”，即乘數可分解為兩個一位數的乘積的乘法；三曰“身前因”，即乘數末位為一的兩位數乘法，比如257×21=257×20十257，實際上，身前因就是通過乘法分配律將多位數乘法化為一位數乘法和加法來完成。四曰相乘，即通常的乘法；五曰“重乘”，就是乘數可分解為兩因數的積，作兩次相乘；六曰“損乘”，是一種以減代乘法，比如，當乘數為9、8、7時，可以10倍被乘數中，減去被乘數的—、二、三倍。楊輝還進一步發展了唐宋相傳的求一算法，總結出了“乘算加法五術”、“除算減法四術”。求一實際上就是通過倍、折、因將乘除數首位化為一，從而用加減代乘除。楊輝的“乘算加算加法五術”，即“加一位”、“加二位”、“重加”、“加隔位”、“連身加”。乘數為11至19的，用加一位；乘數為101至199的，用加二位法；乘數可分為兩因數的積，且可用加一或加二時，稱為重加；乘數為101至109時，用隔位加；乘數為21至29、201至299時，用連身加。例如，342×56的計算，用現代符號寫出，便是：342×56=342×112÷2=(34200+342×12)÷2=(34200十3420十342×2)÷2。其“除算減法四木”即“減一位”、“減二位”、“重減”、“減隔位”，用法與乘算加法類似。

北宋初年出現的一種除法——增成法，在楊輝那裏得到進一步的完善。增成法的優點在於用加倍補數的辦法避免了試商，但對於位數較多的被除數，運算比較繁複，後人改進了它，總結出了“九歸古括”，包含44句口訣。楊輝在其《乘除通變算寶》中引《九歸新括》口訣32句，分為“歸數求成十”、“歸數自上加”，“半而為五計”三類。

客觀上講，楊輝不遺餘力改進計算技術，大大加快了運算工具改革的步伐。隨着籌算歌訣的盛行，運算速度大大加快，以至人們感覺到擺弄算籌跟不上口訣。在這樣的背景下，算盤便應運而生了，及至元末，已經廣為流行。

縱橫圖，即所謂的幻方。早在漢鄭玄《易緯注》及《數術記遺》都記載有“九宮”即三階幻方，千百年來一直被人披上神秘的色彩。楊輝創“縱橫圖”之名。在所著《續古摘奇算法》上卷作出了多種多樣的圖形。圖ll是四階縱橫圖；圖12是百子圖，即十階縱橫圖。 其每行每列數之和為50—5(對角線數字之和不是505)；圖13是“聚八”圖，楊輝按“二十四子作三十二子用”設子的這種幻方共有四圈，每圈數字之和為100； 圖14是“攢九”圖，用前33個自然數排列，達到“斜直周圍各一百四十七”的效果。楊輝不僅給出了這些圖的編造方法，而且對一些圖的一般構造規律有所認識，打破了幻方的神秘性。這是世界上對幻方最早的系統研究和記錄。自楊輝以後，明清兩代中算家關於縱橫圖的研究相繼不斷。

楊輝的另一重要成果是垛積術。這是楊輝繼沈括“隙積術”之後，關於高階等差級數求和的研究。在《詳解九章算法》和《算法通變本末》中記敍了若干二階等差級數求和公式，其中除有一個即沈括的當童垛外，還有三角垛、四隅垛、方垛三式，用現今的記號表示就相當於下面三式：

上述三式可由沈括之芻童公式推出。

對數學重新分類也是楊輝的重要數學工作之一。楊輝在詳解《九章算術》的基礎上，專門增加了一卷“纂類”，將《九章》的方法和246個問題按其方法的性質重新分為乘除、分率、合率、互換、衰分、疊積、盈不足、方程、勾股九類。

楊輝不僅是一位著述甚豐的數學家，而且還是一位傑出的數學教育家。他一生致力於數學教育和數學普及，其著述有很多是為了數學教育和普及而寫。《算法通變本末》中載有楊輝專門為初學者制訂的“習算綱目”，它集中體現了楊輝的數學教育思想和方法。

朱世傑（1300前後），字漢卿，號松庭，寓居燕山（今北京附近），“以數學名家周遊湖海二十餘年”，“踵門而學者雲集”。中國元代數學家，對多元高次方程組解法、高階等差級數求和，高次內插法都有深入研究，他著有《算學啓蒙》(1299年)、《四元玉鑑》(1303年)各3卷，在後者中討論了多達四元的高次聯立方程組解法，聯繫在一起的多項式的表達和運算以及消去法，已接近近世代數學，處於世界領先地位，他通曉高次招差法公式，比西方早四百年，中外數學史家都高度評價朱世傑和他的名著《四元玉鑑》。

朱世傑長期從事數學研究和教育事業，以數學名家周遊各地20多年，四方登門來學習的人很多。朱世傑數學代表作有《算學啓蒙》（1299）和《四元玉鑑》（1303）。《算學啓蒙》是一部通俗數學名著，曾流傳海外，影響了朝鮮、日本數學的發展。《四元玉鑑》則是中國宋元數學高峯的又一個標誌，其中最傑出的數學創作有“四元術”（多元高次方程列式與消元解法）、“垛積法”（高階等差數列求和）與“招差術”（高次內插法）。

朱世傑在數學科學上，全面地繼承了秦九韶、李冶、楊輝的數學成就，並給予創造性的發展，寫出了《算學啓蒙》、《四元玉鑑》等著名作品，把我國古代數學推向更高的境界，形成宋元時期中國數學的最高峯。《算學啓蒙》是朱世傑在元成宗大德三年（1299）刊印的，全書共三卷，20門，總計259個問題和相應的解答。這部書從乘除運算起，一直講到當時數學發展的最高成就“天元術”，全面介紹了當時數學所包含的各方面內容。

它的體系完整，內容深入淺出，通俗易懂，是一部很著名的啓蒙讀物。這部著作後來流傳到朝鮮、日本等國，出版過翻刻本和註釋本，產生過一定的影響。而《四元玉鑑》更是一部成就輝煌的數學名著。它受到近代數學史研究者的高度評價，認為是中國古代數學科學著作中最重要的、最有貢獻的一部數學名著。《四元玉鑑》成書於大德七年（1303），共三卷，24門，288問，介紹了朱世傑在多元高次方程組的解法——四元術，以及高階等差級數的計算——垛積術、招差術等方面的研究和成果。

“天元術”是設“天元為某某”，即某某為x。但當未知數不止一個的時候，除設未知數天元（x）外，還需設地元（y）、人元（z）及物元（u），再列出二元、三元甚至四元的高次聯方程組，然後求解。這在歐洲，解聯立一次方程開始於16世紀，關於多元高次聯立方程的研究還是18至19世紀的事了。朱世傑的另一重大貢獻是對於“垛積術”的研究。他對於一系列新的垛形的級數求和問題作了研究，從中歸納為“三角垛”的公式，實際上得到了這一類任意高階等差級數求和問題的系統、普遍的解法。朱世傑還把三角垛公式引用到“招差術”中，指出招差公式中的係數恰好依次是各三角垛的積，這樣就得到了包含有四次差的招差公式。

他還把這個招差公式推廣為包含任意高次差的招差公式，這在世界數學史上是第一次，比歐洲牛頓的同樣成就要早近4個世紀。正因為如此，朱世傑和他的著作《四元玉鑑》才享有巨大的國際聲譽。近代日本、法國、美國、比利時以及亞、歐、美許多國家都有人向本國介紹《四元玉鑑》。美國已故的著名的科學史家薩頓是這樣評説朱世傑的：“（朱世傑）是中華民族的、他所生活的時代的、同時也是貫穿古今的一位最傑出的數學科學家。”“《四元玉鑑》是中國數學著作中最重要的，同時也是中世紀最傑出的數學著作之一。它是世界數學寶庫中不可多得的瑰寶。”從此中可以看出，宋元時期的科學家及其著作，在世界數學史上起到了不可估量的作用。

朱世傑的主要貢獻是創造了一套完整的消未知數方法，稱為四元消法．這種方法在世界上長期處於領先地位，直到18世紀，法國數學家貝祖(Bezout)提出一般的高次方程組解法，才超過朱世傑。除了四元術以外，《四元玉鑑》中還有兩項重要成就，即創立了一般的高階等差級數求和公式及等間距四次內插法公式，後者通常稱為招差術．此書代表着宋元數學的最高水平，美國科學史家薩頓(G．Sarton)稱讚它“是中國數學著作中最重要的一部，同時也是中世紀的傑出數學著作之一”。朱世傑處於中國傳統數學發展的鼎盛時期，當時社會上“尊崇算學，科目漸興”，數學著作廣為傳播。

從天元術推廣到二元、三元和四元的高次聯立方程組，是宋元數學家的又一項傑出的創造。留傳至今，並對這一傑出創造進行系統論述的是朱世傑的《四元玉鑑》。《四元玉鑑》成書於1303年。全書共3卷，24門，288問，主要論述高次方程組的解法（這也是朱世傑的最大貢獻）、高階等差級數求和以及高次內插法等內容。是流傳至今且對四元術進行系統論述的重要代表作。

在天元術的基礎上，朱世傑建立了“四元高次方程理論”，他把常數項放在中央（即“太”），然後“立天元一於下，地元一於左，人元一於右，物元一於上”，“天、地、人、物”這四“元”代表未知數，(即相當於現在的x、y、z、w，)四元的各次冪放在上、下、左、右四個方向上，其它各項放在四個象限中。如果用現代的x、y、z、w表示天、地、人、物，那我們可以把朱世傑列高次多元方程的方法表示：而上面的兩個圖形“四元一次籌式”與“四元二次籌式”所表示的方程分別為：x+y+z+w=0，

用上述方法列出四元高次方程後，再聯立方程組進行解方程組，方法是用消元方法解答,先擇一元為未知數，其它元組成的多項式作為這未知數的係數，然後把四元四式消去一元，變成三元三式，再消去一元變二元二式，再消去一元，就得到只含一元的天元開方式，然後用增乘開方法求得正根。這是線性方法組解法的重大發展，在西方，較有系統地研究多元方程組要等到16世紀。高階等差級數求和與高次內插法也是《四元玉鑑》的重要內容。由許多求和問題中的一系列三角垛公式可歸納得公式。朱世傑給出了上式中當p=1，2，……6時的公式。此外，還有其它高階等差級數求和公式。在招差法方面，朱世傑相當於給出了招差公式，這比西方要早400多年。

美國著名的科學史家薩頓評論説：“朱世傑是他所生存時代的，同時也是貫穿古今的一位最傑出的數學家”，《四元玉鑑》是“中國數學著作中最重要的一部，同時也是整個中世紀最傑出的數學著作之一。”朱世傑不僅是一名傑出的數學家，他還是一位數學教育家，曾周遊四方各地，教授生徒20餘年。並親自編著數學入門書，稱為《算學啓蒙》。在《算學啓蒙》卷下中，朱世傑提出已知勾弦和、股弦和求解勾股形的方法，補充了《九章算術》的不足。