朱世傑

朱世傑“以數學名家周遊湖海二十餘年”，“踵門而學者雲集”（莫若、祖頤：《四元玉鑑》後序）。

宋元時期，中國數學鼎盛時期中傑出的數學家有“秦九韶、李冶、楊輝、朱世傑四大家”，朱世傑就是其中之一。朱世傑是一位平民數學家和數學教育家。朱世傑平生勤力研習《九章算術》，旁通其它各種算法，成為元代著名數學家。

元統一中國後，朱世傑曾以數學家的身份周遊各地20餘年，向他求學的人很多，他到廣陵（今揚州）時“踵門而學者雲集”。他全面繼承了前人數學成果，既吸收了北方的天元術，又吸收了南方的正負開方術、各種日用算法及通俗歌訣，在此基礎上進行了創造性的研究，寫成以總結和普及當時各種數學知識為宗旨的《算學啓蒙》（3卷），又寫成四元術的代表作——《四元玉鑑》（3卷），先後於1299年和1303年刊印。《算學啓蒙》由淺入深，從一位數乘法開始，一直講到當時的最新數學成果――天元術，儼然形成一個完整體系。

書中明確提出正負數乘法法則，給出倒數的概念和基本性質，概括出若干新的乘法公式和根式運算法則，總結了若干乘除捷算口訣，並把設輔助未知數的方法用於解線性方程組。《四元玉鑑》的主要內容是四元術，即多元高次方程組的建立和求解方法。秦九韶的高次方程數值解法和李冶的天元術都被包含在內。

在宋元時期的數學羣英中，朱世傑的工作具有特殊重要的意義。如果把諸多數學家比作羣山，則朱世傑是最高大、最雄偉的山峯。站在朱世傑數學思想的高度俯瞰傳統數學，會有“一覽眾山小”之感。

朱世傑工作的意義就在於總結了宋元數學，使之在理論上達到新的高度。這主要表現在以下三個領域。首先是方程理論。在列方程方面，蔣周的演段法為天元術作了準備工作，他已具有尋找等值多項式的思想，洞淵馬與信道是天元術的先驅，但他們推導方程仍受幾何思維的束縛，李冶基本上擺脱了這種束縛，總結出一套固定的天元術程序，使天元術進入成熟階段。在解方程方面，賈憲給出增乘開方法，劉益則用正負開方術求出四次方程正根，秦九韶在此基礎上解決了高次方程的數值解法問題。至此，一元高次方程的建立和求解都已實現。而線性方程組古已有之，所以具備了多元高次方程組產生的條件。李德載的二元術和劉大鑒的三元術相繼出現，朱世傑的四元術正是對二元術、三元術的總結與提高。由於四元已把常數項的上下左右佔滿，方程理論發展到這裏，顯然就告一段落了。從方程種類看，天元術產生之前的方程都是整式方程。

從洞淵到李冶，分式方程逐漸得到發展。而朱世傑則突破了有理式的限制，開始處理無理方程。其次是高階等差級數的研究。沈括的隙積術開研究高階等差級數之先河，楊輝給出包括隙積術在內的一系列二階等差級數求和公式。朱世傑則在此基礎上依次研究了二階、三階、四階乃至五階等差級數的求和問題，從而發現其規律，掌握了三角垛統一公式。他還發現了垛積術與內插法的內在聯繫，利用垛積公式給出規範的四次內插公式。第三是幾何學的研究。宋代以前，幾何研究離不開勾股和麪積、體積。蔣周的《益古集》也是以面積問題為研究對象的。李冶開始注意到圓城因式中各元素的關係，得到一些定理，但未能推廣到更一般的情形。朱世傑不僅總結了前人的勾股及求積理論，而且在李冶思想的基礎上更進一步，深入研究了勾股形內及圓內各幾何元素的數量關係，發現了兩個重要定理——射影定理和絃冪定理。他在立體幾何中也開始注意到圖形內各元素的關係。朱世傑的工作，使得幾何研究的對象由圖形整體深入到圖形內部，體現了數學思想的進步。

13世紀末，歷經戰亂的祖國為元王朝所統一，遭到破壞的經濟和文化又很快繁榮起來。蒙古統治者為了興邦安國，便尊重知識，選拔人才，把各門科學推向新的高峯。

有一天，風景秀麗的揚州瘦西湖畔，來了一位教書先生，在寓所門前掛起一塊招牌，上面用大字寫着：“燕山朱松庭先生，專門教授四元術”。不幾天，朱世傑門前門庭若市，求知者絡繹不絕，就在朱世傑在接待學生報名之時，突然一聲聲叫罵聲引起他的注意。

只見一穿綢戴銀半老徐娘，追着一年輕的姑娘，邊打邊罵：“你這賤女人，大把的銀子你不抓，難道想做大家閨秀，只怕你投錯了胎，下輩子也別想了。”那姑娘被打得皮開肉綻，連內身衣服都被撕壞了。姑娘蜷成一團，任憑她打，也不跟她回去。朱世傑路見不平，便上前詢問，那半老徐娘見冒出一個愛管閒事之人，就嘲笑道：“你難道想抱打不平，你送上50兩銀子，這姑娘就歸你了！”

朱世傑見此情景，大怒道：“難道我掏不出50兩銀子。光天化日之下，竟胡作非為，難道沒有王法不成？”

那半老徐娘諷刺道：“你這窮鬼，還談什麼王法，銀子就是王法，你若能掏出50兩銀子，我便不打了。”

朱世傑憤怒已極，從口袋裏抓出50兩銀子，摔在半老徐娘面前，拉起姑娘就回到自己的教書之地。原來，那半老徐娘是妓女院的鴇母，而這姑娘的父親因借鴇母的10兩銀子，由於天災，還不起銀子，只好賣女兒抵債。今天碰巧遇上朱世傑，才把姑娘救出苦海。

後來，在朱世傑的精心教導下，這姑娘也頗懂些數學知識，成了朱世傑的得力助手，不幾年，兩人便結成夫妻。所以，揚州民間還流傳着這樣一句話：元朝朱漢卿，教書又育人。救人出苦海，婚姻大事成。

朱世傑長期從事數學研究和教育事業，以數學名家周遊各地20多年，四方登門來學習的人很多。朱世傑數學代表作有《算學啓蒙》（1299年）和《四元玉鑑》（1303）。《算學啓蒙》是一部通俗數學名著，曾流傳海外，影響了朝鮮、日本數學的發展。《四元玉鑑》則是中國宋元數學高峯的又一個標誌，其中最傑出的數學創作有“四元術”（多元高次方程列式與消元解法）、“垛積法”（高階等差數列求和）與“招差術”（高次內插法）。

朱世傑在數學科學上，全面地繼承了秦九韶、李冶、楊輝的數學成就，並給予創造性的發展，寫出了《算學啓蒙》、《四元玉鑑》等著名作品，把我國古代數學推向更高的境界，形成宋元時期中國數學的最高峯。《算學啓蒙》是朱世傑在元成宗大德三年（1299）刊印的，全書共三卷，20門，總計259個問題和相應的解答。這部書從乘除運算起，一直講到當時數學發展的最高成就“天元術”，全面介紹了當時數學所包含的各方面內容。

它的體系完整，內容深入淺出，通俗易懂，是一部很著名的啓蒙讀物。這部著作後來流傳到朝鮮、日本等國，出版過翻刻本和註釋本，產生過一定的影響。而《四元玉鑑》更是一部成就輝煌的數學名著。它受到近代數學史研究者的高度評價，認為是中國古代數學科學著作中最重要的、最有貢獻的一部數學名著。《四元玉鑑》成書於大德七年（1303），共三卷，24門，288問，介紹了朱世傑在多元高次方程組的解法——四元術，以及高階等差級數的計算——垛積術、招差術等方面的研究和成果。

“天元術”是設“天元為某某”，即某某為x。但當未知數不止一個的時候，除設未知數天元（x）外，還需設地元（y）、人元（z）及物元（u），再列出二元、三元甚至四元的高次聯方程組，然後求解。這在歐洲，解聯立一次方程開始於16世紀，關於多元高次聯立方程的研究還是18至19世紀的事了。朱世傑的另一重大貢獻是對於“垛積術”的研究。他對於一系列新的垛形的級數求和問題作了研究，從中歸納為“三角垛”的公式，實際上得到了這一類任意高階等差級數求和問題的系統、普遍的解法。朱世傑還把三角垛公式引用到“招差術”中，指出招差公式中的係數恰好依次是各三角垛的積，這樣就得到了包含有四次差的招差公式。

他還把這個招差公式推廣為包含任意高次差的招差公式，這在世界數學史上是第一次，比歐洲牛頓的同樣成就要早近4個世紀。正因為如此，朱世傑和他的著作《四元玉鑑》才享有巨大的國際聲譽。近代日本、法國、美國、比利時以及亞、歐、美許多國家都有人向本國介紹《四元玉鑑》。美國已故的著名的科學史家薩頓是這樣評説朱世傑的：“（朱世傑）是中華民族的、他所生活的時代的、同時也是貫穿古今的一位最傑出的數學科學家。”“《四元玉鑑》是中國數學著作中最重要的，同時也是中世紀最傑出的數學著作之一。它是世界數學寶庫中不可多得的瑰寶。”從此中可以看出，宋元時期的科學家及其著作，在世界數學史上起到了不可估量的作用。

朱世傑的主要貢獻是創造了一套完整的消未知數方法，稱為四元消法。這種方法在世界上長期處於領先地位，直到18世紀，法國數學家貝祖（Bezout）提出一般的高次方程組解法，才超過朱世傑。除了四元術以外，《四元玉鑑》中還有兩項重要成就，即創立了一般的高階等差級數求和公式及等間距四次內插法公式，後者通常稱為招差術。此書代表着宋元數學的最高水平，美國科學史家薩頓（G. Sarton）稱讚它“是中國數學著作中最重要的一部，同時也是中世紀的傑出數學著作之一”。朱世傑處於中國傳統數學發展的鼎盛時期，當時社會上“尊崇算學，科目漸興”，數學著作廣為傳播。

對多元高次方程組解法、高階等差級數求和，高次內插法都有深入研究，他著有《算學啓蒙》（1299年）、《四元玉鑑》（1303年）各3卷，在後者中討論了多達四元的高次聯立方程組解法，聯繫在一起的多項式的表達和運算以及消去法，已接近近世代數學，處於世界領先地位，他通曉高次招差法公式，比西方早四百年，中外數學史家都高度評價朱世傑和他的名著《四元玉鑑》。

從天元術推廣到二元、三元和四元的高次聯立方程組，是宋元數學家的又一項傑出的創造。留傳至今，並對這一傑出創造進行系統論述的是朱世傑的《四元玉鑑》。《四元玉鑑》成書於1303年。全書共3卷，24門，288問，主要論述高次方程組的解法（這也是朱世傑的最大貢獻）、高階等差級數求和以及高次內插法等內容。是流傳至今且對四元術進行系統論述的重要代表作。

在天元術的基礎上，朱世傑建立了“四元高次方程理論”，他把常數項放在中央（即“太”），然後“立天元一於下，地元一於左，人元一於右，物元一於上”，“天、地、人、物”這四“元”代表未知數（即相當於如今的x、y、z、w），四元的各次冪放在上、下、左、右四個方向上，其它各項放在四個象限中。如果用現代的x、y、z、w表示天、地、人、物，那我們可以把朱世傑列高次多元方程的方法表示：而上面的兩個圖形“四元一次籌式”與“四元二次籌式”所表示的方程分別為：x+y+z+w=0

用上述方法列出四元高次方程後，再聯立方程組進行解方程組，方法是用消元方法解答，先擇一元為未知數，其它元組成的多項式作為這未知數的係數，然後把四元四式消去一元，變成三元三式，再消去一元變二元二式，再消去一元，就得到只含一元的天元開方式，然後用增乘開方法求得正根。這是線性方法組解法的重大發展，在西方，較有系統地研究多元方程組要等到16世紀。高階等差級數求和與高次內插法也是《四元玉鑑》的重要內容。由許多求和問題中的一系列三角垛公式可歸納得公式。朱世傑給出了上式中當p=1，2，……6時的公式。此外，還有其它高階等差級數求和公式。在招差法方面，朱世傑相當於給出了招差公式，這比西方要早400多年。

美國著名的科學史家薩頓評論説：“朱世傑是他所生存時代的，同時也是貫穿古今的一位最傑出的數學家”，《四元玉鑑》是“中國數學著作中最重要的一部，同時也是整個中世紀最傑出的數學著作之一”。朱世傑不僅是一名傑出的數學家，他還是一位數學教育家，曾周遊四方各地，教授生徒20餘年。並親自編著數學入門書，稱為《算學啓蒙》。在《算學啓蒙》卷下中，朱世傑提出已知勾弦和、股弦和求解勾股形的方法，補充了《九章算術》的不足。

“燕山朱松庭先生”，是元朝時代的一位傑出的數學家。所寫的《四元玉鑑》和《算學啓蒙》，是中國古代數學發展進程中的一個重要的里程碑，是中國古代數學的一份寶貴的遺產。13世紀中葉，朱世傑除了接受北方的數學成就之外，他也吸收了南方的數學成就，尤其是各種日用算法、商用算術和通俗化的歌訣等等。

朱世傑曾“周遊四方”，莫若（古代數學家）序中有“燕山松庭朱先生以數學名家周遊湖海二十餘年矣。四方之來學者日眾，先生遂發明《九章》之妙，以淑後圖學，為書三卷……名曰《四元玉鑑》”，祖頤後序中亦有“漢卿名世傑，松庭其自號也。周流四方，復遊廣陵，踵門而學者雲集”。經過長期的遊學、講學等活動，終於在1299年和1303年，在揚州，刊刻了他的兩部數學傑作——《算學啓蒙》和《四元玉鑑》。楊輝書中的歸除歌訣在朱世傑所著《算學啓蒙》中有了進一步的發展。

清羅士琳認為：“漢卿在宋元間，與秦道古（即秦九韶）、李仁卿可稱鼎足而三。道古正負開方，漢卿天元如積皆足上下千古，漢卿又兼包眾有，充類儘量，神而明之，尤超越乎秦、李之上”。清代數學家王鑑也説：“朱松庭先生兼秦、李之所長，成一家之著作”。朱世傑全面繼承了並創造性地發揚了天元術、正負開方法等秦、李書中所載的數學成就之外，還囊括了楊輝書中的日用、商用、歸除歌訣之類與當時社會生活密切相關的各種算法，並作了新的發展。

在元滅南宋以前，南北之間的交往，特別是學術上的交往幾乎是斷絕的。南方的數學家對北方的天元術毫無所知，而北方的數學家也很少受到南方的影響。

由此看來，在朱世傑的工作中，不僅有高次方程的解法，天元術等為代表的北方數學的成就，也包括了楊輝工作中所體現出來的日用，商用算法以及各種歌訣等南方數學的成就，不僅繼承了中國古代數學的光輝遺產，而且又作了創作性的發展。朱世傑的工作，在一定意義上講，可以看作是宋元數學的代表，可以看作是古代籌算系統發展的頂峯。就連西方資產階級學者們也不能否認這一點，喬治·薩頓説：朱世傑“是漢族的，他所生存的時代的，同時也是貫穿古今的一位最傑出的數學家”，説《四元玉鑑》“是中國數學著作中最重要的一部，同時也是中世紀最傑出的數學著作之一”。朱世傑以他自己的傑出著作，把中國古代數學推向更高的境界，為中國古代數學的光輝史冊，增加了新的篇章，形成了宋代中國數學發展的最高峯。

據此我們知道，朱世傑出生在北京地區，十三世紀後期，他作為數學名家周遊大江南北20餘年，朱世傑最後寓居揚州，從事數學的研究和講學，他吸引了眾多學者聚集在揚州從事學術交流。揚州處於南北交匯之地，各種學術思想在這裏融會貫通；當時，揚州的印刷業又十分發達，是全國的書籍出版中心，體現朱世傑數學成就的兩部著作《算學啓蒙》和《四元玉鑑》，就是於元大德三年（1299年）和元大德七年（1303年）在揚州刻印出版的。

《算學啓蒙》全書共3卷，分為20門，收入了259個數學問題。全書之首，朱世傑給出了18條常用的數學歌訣和各種常用的數學常數，其中包括：乘法九九歌訣、除法九歸歌訣（與後來的珠算歸除口訣完全相同）、斤兩化零歌訣，以及籌算記數法則、大小數進位法、度量衡換算、圓周率、正負數加、減、乘法法則、開方法則等。正文則包括了乘除法運算及其捷算法、增乘開方法、天元術、線性方程組解法、高階等差級數求和等，全書由淺入深，幾乎包括了當時數學學科各方面的內容，形成了一個較完整的體系，可以説是一部很好的數學教科書。清代揚州學者羅士琳説，《算學啓蒙》“似淺實深”，這樣的評論是十分中肯的。

《四元玉鑑》是朱世傑闡述多年研究成果的一部力著。全書共分3卷，24門，288問，書中所有問題都與求解方程或求解方程組有關，其中四元的問題（需設立四個未知數者）有7問，三元者13問，二元者36問，一元者232問。卷首列出了賈憲三角等四種五幅圖，給出了天元術、二元術、三元術、四元術的解法範例；後三者分別是二元、三元、四元高次方程組的列法及解法。創造四元消法，解決多元高次方程組問題是該書的最大貢獻，書中另一個重大成就是系統解決高階等差級數求和問題和高次招差法問題。

在朱世傑之前，中國古代數學已有了解方程的方法——“天元術”，“天元術”解方程是設“天元為某某”，某某就是（x）。朱世傑不僅繼承沿用了天元術，方程組解法由二元、三元推廣至四元。未知數不止一個時，除設未知數天元（x）外，還設地元（y）、人元（z）及物元（u），再列出二元、三元甚至四元的高次聯立方程組，然後求解。在歐洲，解聯立一次方程始於16世紀，關於多元高次聯立方程的研究則是18、19世紀的事了，朱世傑的“天元術”比歐洲早了400多年。

朱世傑對“垛積術”的研究，實際上得到了高階等差級數求和問題的普遍的解法。自宋代起我國就有了關於高階等差級數求和問題的研究，沈括（1031-1095年）和楊輝（1261-1275年）的著作中，都有垛積問題，這些垛積問題有一些就涉及高階等差級數，朱世傑在《四元玉鑑》中又把這一問題的研究進一步深化，得到了一串三角垛的公式。

《四元玉鑑》是一部成就輝煌的數學名著，是宋元數學集大成者，也是我國古代水平最高的一部數學著作。現代數學史研究者對《四元玉鑑》給予了高度評價。著名科學史專家喬治·薩頓説，《四元玉鑑》“是中國數學著作中最重要的一部，同時也是中世紀最傑出的數學著作之一”。編著《中國科學技術史》的李約瑟這樣評價朱世傑和《四元玉鑑》：“他以前的數學家都未能達到這部精深的著作中所包含的奧妙的道理”。

遺憾的是，朱世傑之後，元代再無高深的數學著作出現，漢唐宋元的數學著作很少有新的刻本，很多甚至失傳了。乾隆三十七年（1772年）開《四庫全書》館時，挖掘了不少古代數學典籍，朱世傑的著作卻未被發現，因此，起初沒有編入；1799年阮元、李鋭等人編纂數學家傳記《疇人傳》時，也未介紹《四元玉鑑》。之後不久，阮元在浙江訪得此書，旋即將其編入《四庫全書》，並把抄本交給李鋭校算（未校完），後由何元錫按此抄本刻印，這是《四元玉鑑》1303年初版以來的第一個重刻本。1839年揚州學者羅士琳經多年研究之後，出版了他所編著的《四元玉鑑細草》，羅氏對《四元玉鑑》書中每一問題都作了細草。就在羅士琳翻刻《四元玉鑑》時，《算學啓蒙》也還無着落。後來羅士琳“聞朝鮮以是書為算科取士”，於是請人在北京找到了順治十七年（1660年）朝鮮全州府尹金始振所刻的翻刻本，這樣，《算學啓蒙》又在揚州重新刊印出版，這就是該書現存各種版本的母本。

元代朱世傑這兩部傑出的數學著作都是在揚州完成、刻印的，失傳了幾百年後，它們又被揚州學者發現、校算、註釋，並在揚州重新刻印出版，僅此可見，揚州在我國數學發展史上有着十分重要的地位。