秦九韶

秦九韶，字道古。祖籍魯郡（今河南省範縣），出生於普州（今資陽市安嶽縣）。 ^{[3]  [8]}  中國古代數學家。南宋嘉定元年（1208年）生；約景定二年（1261年）被貶至梅州，’’鹹淳四年（1268）二月，在梅州辭世，時年61歲 ^[2]  。

秦九韶其父秦季槱，進士出身，官至上部郎中、秘書少監。秦九韶聰敏勤學。南宋紹定四年（1231），秦九韶考中進士，先後擔任縣尉、通判、參議官、州守、同農、寺丞等職。先後在湖北、安徽、江蘇、浙江等地做官，1261年左右被貶至梅州，不久死於任所。他在政務之餘，廣泛蒐集歷學、數學、星象、音律、營造等資料，進行分析、研究。 宋淳祐四至七年（1244至1247），他在為母親守孝時，把長期積累的數學知識和研究所得加以編輯，寫成了聞名的鉅著《數書九章》，並創造了“大衍求一術”，被稱為“中國剩餘定理”。他所論的“正負開方術”被稱為“秦九韶程序”。世界各國從小學、中學到大學的數學課程，幾乎都接觸到他的定理、定律和解題原則。

美國著名科學史家薩頓稱秦九韶：“他那個民族、他那個時代，並且確實也是所有時代最偉大的數學家之一”。

秦九韶是魯郡(今河南範縣)人，父親秦季槱，字宏父，紹熙四年(1193)進士，後任巴州(今四川巴中)守。嘉定十二年(1219)三月，興元(今陝西漢中)軍士張福、莫簡等發動兵變，入川后攻取利州(今廣元)、閬州(今閬中)、果州(今南充)、遂寧(今遂寧)、普州(今安嶽)等地。在譁變軍隊進佔巴州時，秦季槱棄城逃走，攜全家輾轉抵達南宋都城臨安(今杭州)。在臨安，秦季槱曾任工部郎中和秘書少監等官職。寶慶元年(1225)六月，被任命為潼川知府，返回四川。

秦九韶自幼生活在家鄉，18歲時曾“在鄉里為義兵首”，後隨父親移居京都。他是一位非常聰明的人，處處留心，好學不倦。其父任職工部郎中和秘書少監期間，正是他努力學習和積累知識的時候。工部郎中掌管營建，而秘書省則掌管圖書，其下屬機構設有太史局。因此，他有機會閲讀大量典籍，並拜訪天文曆法和建築等方面的專家，請教天文曆法和土木工程問題，甚至可以深入工地，瞭解施工情況。他又曾向一位精通數學的隱士學習數學。他還向著名詞人李劉學習駢儷詩詞，達到較高水平。通過這一階段的學習，秦九韶成為一位學識淵博、多才多藝的青年學者，時人説他“性極機巧，星象、音律、算術，以至營造等事，無不精究”，“遊戲、毬、馬、弓、劍，莫不能知。” ^[4] 

1225年，秦九韶隨父親至潼川（今四川三台縣）。蒙古軍隊已侵入今甘肅、陝西一帶，北方的抗蒙（元）鬥爭如火如荼。南宋朝廷“募義兵五千人，與民約曰：‘敵至則官軍守原堡，民丁保山砦，義兵為遊擊。”在各地建立了民間武裝。通武知兵的秦九韶擔任了民間武裝的“義兵首”，維護地方治安。

數年後，李劉曾邀請他到南宋國史院校勘書籍文獻，但未成行。端平三年(1236)元兵攻入四川，嘉陵江流域戰亂頻仍，秦九韶不得不經常參與軍事活動。他後來在《數書九章》序中寫道：“際時狄患，歷歲遙塞，不自意全於矢石間，嘗險罹憂，荏苒十祀，心槁氣落”，真實地反映了這段動盪的生活。由於元兵進逼和潰卒騷亂，潼川已難以安居，於是他再度出川東下，先後擔任過蘄州(今湖北蘄春)通判及和州(今安徽和縣)守，最後定居湖州(今浙江吳興)。秦九韶在任和州守期間，利用職權販鹽，強行賣給百姓，從中牟利。定居湖州後，所建住宅“極其宏敞”，“後為列屋，以處秀姬、管絃”。據載，他在湖州生活奢華，“用度無算”。淳祐四年(1244)八月，秦九韶以通直郎為建康府(今江蘇南京)通判，十一月因母喪離任，回湖州守孝。在此期間，他專心致志研究數學，於淳祐七年(1247)九月完成了數學名著《數書九章》。由於在天文曆法方面的豐富知識和成就，他曾受到皇帝召見，闡述自己的見解，並呈有奏稿和《數學大略》(即《數書九章》)。

寶祐二年(1254)，秦九韶回到建康，改任沿江制置使參議，不久去職。此後，他極力攀附和賄賂當朝權貴賈似道，得於寶祐六年(1258)任瓊州守，但三個月後被免職。同時代的劉克莊説秦九韶“到郡(瓊州)僅百日許，郡人莫不厭其貪暴，作卒哭歌以快其去”，周密亦説他“至郡數月，罷歸，所攜甚富”。看來，由於他在瓊州的貪暴，百姓極為不滿。秦九韶從瓊州回到湖州後，投靠吳潛，得到吳潛賞識，兩人關係甚密。吳潛曾相繼在開慶元年(1259)擬任司農寺丞，景定元年(1260)擬任知臨江軍(今江西清江)，都因遭到激烈反對而作罷。在這段時間裏，秦九韶熱衷於謀求官職，追逐功名利祿，在科學上沒有顯著成績。在南宋統治集團內部的激烈鬥爭中，吳潛被罷官貶謫，秦九韶也受到牽連。約在景定二年(1261)，他被貶至梅州做地方官，“在梅治政不輟”，不久便死於任所。

秦九韶在數學上的主要成就是系統地總結和發展了高次方程數值解法和一次同餘組解法，提出了相當完備的“正負開方術”和“大衍求一術”，達到了當時世界數學的最高水平。

秦九韶（1208—1268），字道古，祖籍魯郡（今河南省範縣），出生於普州（今四川省資陽市安嶽縣）。 ^[8] 

嘉定元年（1208）春誕生在普州。

紹定二年（1229）十月，秦九韶擢郪縣（今四川省三台縣郪江古鎮）縣尉。

紹定四年（1231）八月，秦九韶參與魏了翁平抑瀘州蠻夷，葺其城樓櫓雉堞。

紹定五年（1232）八月乙丑進士，紹定六年，秦九韶在魏了翁帶領吳潛等督視潼川府路、成都府路時認識吳潛，魏了翁和吳潛同秦九韶去拜望病中的許奕。

端平三年（1236）一月，秦九韶擢升湖北蘄州（今湖北蘄春縣）通判。

嘉熙元年（1237）年秋，秦九韶知和州（今安徽和縣）。

嘉熙二年（1238），秦九韶回臨安丁父憂，秦九韶在杭州丁父憂期間，發現西溪兩岸的羣眾過河很不方便，在西溪上設計修建一座橋，名“西溪橋”，數學家朱世傑為紀念秦九韶，將橋命名為“道古橋”。

嘉熙三年（1239），秦九韶在杭州處理完父親的後事之後，便和母親、妻子回到湖州西門外父親早年備置的宅第，繼續丁父憂。秦九韶在湖州丁父憂期間，與知慶元府（浙江寧波）吳潛交尤稔，着手改建父親備置的住宅。

淳祐三年六月，吳潛回湖州丁母憂，秦九韶與被奪官的吳潛交往更是密切。 ^[5] 

淳祐四年（1244），秦九韶以通直郎出任建康（南京）府通判。十一月，秦九韶丁母憂，解官離任，回湖州為近八旬的母親守靈，將潛心研究、用於實踐中的數學成果，著書《數學大略》。此時，吳潛也在湖州丁母憂，兩人交往甚密。

淳祐八年（1248），《數學大略》得薦於朝。

淳祐九年（1249），目錄學家陳振孫在編書目時向秦九韶請教。

淳祐十年年（1250），秦九韶卸任建康通判，出任蘇州州守。

寶祐二年（1254），九韶出任江寧（江蘇南京）府知府、沿江制置司參議官，管理江南十府糧道，寶祐四年去職。

寶祐六年（1258），秦九韶由賈似道薦於李曾伯為瓊州守，凡數月去之。

開慶元年（1259）十月，吳潛第二次入相，秦九韶有江東（江蘇南京）議幕之除。又除司農丞前去平江（府治在今蘇州市）措置米餫，俱以事罷。

景定元年（1260），秦九韶知臨江軍（江西清江縣西臨江鎮，南宋為臨江軍，轄清江、新餘等縣）。 ^[3] 

景定二年（1261）六月，秦九韶廣東梅州知軍州事。

鹹淳四年（1268）二月，秦九韶在梅州治政近六年左右，得知朝廷為吳潛追復爵祿，了卻心中惦念的沉冤，在梅州辭世，時年六十一歲。

秦九韶的數學成就保存在《數書九章》之中。然而，這本書在當時並沒有引起大的影響，稍後的楊輝、朱世傑都沒有引徵過秦九韶的成果。《數書九章》的主要內容偏重於數學的應用方面，全書八十一道題目都是結合當時的實際需要提出的問題。

秦九韶潛心研究數學多年，在湖州守孝三年，所寫成的世界數學名著《數書九章》，《癸辛雜識續集》稱作《數學大略》，《永樂大典》稱作《數書九章》。全書九章十八卷，九章九類：“大衍類”、“天時類”、“田域類”、“測望類”、“賦役類”、“錢穀類”、“營建類”、“軍旅類”、“市物類”，每類9題（9問）共計81題（81問），該書內容豐富至極，上至天文、星象、歷律、測候，下至河道、水利、建築、運輸，各種幾何圖形和體積，錢穀、賦役、市場、牙釐的計算和互易。許多計算方法和經驗常數仍有很高的參考價值和實踐意義，被譽為“算中寶典”。

該書著述方式，大多由“問曰”、“答曰”、“術曰”、“草曰”四部分組成：“問曰”，是從實際生活中提出問題；“答曰”，給出答案；“術曰”，闡述解題原理與步驟；“草曰”，給出詳細的解題過程。此書已為國內外科學史界公認的一部世界數學名著。此書不僅代表着當時中國數學的先進水平，也標誌着中世紀世界數學的成就之一。我國數學史家梁宗巨評價道：“秦九韶的《數書九章》（1247年）是一部劃時代的鉅著，內容豐富，精湛絕倫。特別是大衍求一術（不定方程的中國獨特解法）及高次代數方程的數值解法，在世界數學史上佔有崇高的地位。那時歐洲漫長的黑夜猶未結束，中國人的創造卻像旭日一般在東方發出萬丈光芒。

中國古代求解一類大衍問題的方法。大衍問題源於《孫子算經》中的“物不知數”問題：“今有物，不知其數，三三數之剩二，五五數之剩三，七七數之剩二，問物幾何？”這是屬於現代數論中求解一次同餘式方程組問題。宋代數學家秦九韶在《數書九章》（1247年成書）中對此類問題的解法作了系統的論述，並稱之為大衍求一術。秦九韶的“大衍求一術”被康托爾稱為“最幸運的天才”。秦九韶所發明的“大衍求一術”，即現代數論中一次同餘式組解法，是中世紀世界數學的成就之一，比西方1801年著名數學家高斯（Gauss，1777—1855年）建立的同餘理論早554年，被西方稱為“中國剩餘定理”。但是他的求積公式數學成就，比古希臘數學家海倫晚了一千多年。

秦九韶在《數書九章》中除“大衍求一術”外，還創擬了“正負開方術”，即任意高次方程的數值解法，秦九韶所發明的此項成果比1819年英國人霍納（W·G·Horner，1786—1837年）的同樣解法早572年。秦九韶的“正負方術”列算式時，提出“商常為正，實常為負，從常為正，益常為負”的原則，純用代數加法，給出統一的運算規律，並且擴充到任何高次方程中去。

此外，秦九韶還改進了一次方程組的解法，用互乘對減法消元，與現今的加減消元法完全一致；同時秦九韶又給出了籌算的草式，可使它擴充到一般線性方程中的解法。在歐洲最早是1559年布丟（Buteo，約1490—1570年，法國）給出的，他開始用不很完整的加減消元法解一次方程組，比秦九韶晚了312年，且理論上的完整性也遜於秦九韶。

他的書中卷5田域類所列三斜求積公式與公元1世紀古希臘數學家海倫給出的公式殊途同歸；卷7、卷8測望類又使《海島算經》中的測望之術發揚光大，再添光彩。

秦九韶還創用了“三斜求積術”等，給出了已知三角形三邊求三角形面積公式，與古希臘數學家海倫（Heron，公元50年前後）公式完全一致。秦九韶還給出一些經驗常數，如築土問題中的“堅三穿四壤五，粟率五十，牆法半之”等，即使對當前仍有現實意義。秦九韶還在十八卷77問“推計互易”中給出了配分比例和連鎖比例的混合命題的巧妙且一般的運算方法，仍有很大意義。

秦九韶在《數書九章》序言中説，數學“大則可以通神明，順性命；小則可以經世務，類萬物”。所謂“通神明”，即往來於變化莫測的事物之間，明察其中的奧秘；“順性命”，即順應事物本性及其發展規律。在秦九韶看來，數學不僅是解決實際問題的工具，而且應該達到“通神明，順性命”的崇高境界。

《數書九章》全書共九章九類，十八卷，每類9題共計81個算題。另外，每類下還有頌詞，詞簡意賅，用來記述本類算題主要內容、與國計民生的關係及其解題思路等。

全書採用問題集的形式，並不按數學方法來分類。題文也不只談數學，還涉及自然現象和社會生活，成為了解當時社會政治和經濟生活的重要參考文獻。《數書九章》在數學內容上頗多創新。中國算籌式記數法及其演算式在此得以完整保存；自然數、分數、小數、負數都有專條論述，還第一次用小數表示無理根的近似值；卷1大衍類中靈活運用最大公約數和最小公倍數，並首創連環求等，藉以求幾個數的最小公倍數；在《孫子算經》中“物不知數”問題的基礎上總結成大衍求一術，使一次同餘式組的解法規格化、程序化，比西方高斯創用的同類方法早500多年，被公認為“中國剩餘定理”；卷17市物類給出完整的方程術演算實錄，書中還繼賈憲增乘開方法進而作正負開方術，使之可以對任意次方程的有理根或無理根來求解，比19世紀英國霍納的同類方法早500多年。

除此之外，秦九韶還提出了秦九韶算法。這種算法仍是多項式求值比較實用的算法。該算法看似簡單，其最大的意義在於將求n次多項式的值轉化為求n個一次多項式的值。在人工計算時，利用秦九韶算法和其中的係數表可以大幅簡化運算。

《數書九章》是對《九章算術》的繼承和發展，概括了宋、元時期中國傳統數學的主要成就，標誌着中國古代數學的高峯。當它還是抄本時就先後被收入《永樂大典》和《四庫全書》。1842年，第一次印刷後即在民間廣泛流傳。秦九韶所創造的“正負開方術”和“大衍求一術”長期以來影響着中國數學的研究方向。焦循、李鋭、張敦仁、駱騰鳳、時曰醇、黃宗憲等數學家的著述都是在《數書九章》的直接或間接影響下完成的。秦九韶的成就也代表了中世紀世界數學發展的主流與最高水平，在世界數學史上佔有崇高的地位。

把一個n次多項式

改寫成如下形式：

求多項式的值時，首先計算最內層括號內一次多項式的值，即

然後由內向外逐層計算一次多項式的值，即

這樣，求n次多項式f(x)的值就轉化為求n個一次多項式的值。

上述方法稱為秦九韶算法。這種算法仍是多項式求值比較實用的算法 ^[6]  .

民間傳説着一則故事——“韓信點兵”。

秦朝末年，楚漢相爭。一次，韓信將1500名將士與楚王大將李鋒交戰。苦戰一場，楚軍不敵，敗退回營，漢軍也死傷四五百人，於是韓信整頓兵馬也返回大本營。當行至一山坡，忽有後軍來報，説有楚軍騎兵追來。只見遠方塵土飛揚，殺聲震天。漢軍本來已十分疲憊，這時隊伍大譁。韓信兵馬到坡頂，見來敵不足五百騎，便急速點兵迎敵。他命令士兵3人一排，結果多出2名；接着命令士兵5人一排，結果多出3名；他又命令士兵7人一排，結果又多出2名。韓信馬上向將士們宣佈：我軍有1073名勇士，敵人不足五百，我們居高臨下，以眾擊寡，一定能打敗敵人。漢軍本來就信服自己的統帥，這一來更相信韓信是“神仙下凡”、“神機妙算”。於是士氣大振。一時間旌旗搖動，鼓聲喧天，漢軍步步進逼，楚軍亂作一團。交戰不久，楚軍大敗而逃。

首先我們先求3、5、7的最小公倍數105（注：因為3、5、7為兩兩互質的整數，故其最小公倍數為這些數的積），乘以10，然後再加23，得1073（人）。

在一千多年前的《孫子算經》中，有這樣一道算術題：今有物不知其數，三三數之剩二，五五數之剩三，七七數之剩二，問物幾何？

解釋下來的意思是：一個數除以3餘2，除以5餘3，除以7餘2，求這個數。

這樣的問題，也有人稱為“韓信點兵”。它形成了一類問題，也就是初等數論中解同餘式。這類問題的有解條件和解的方法被稱為“中國剩餘定理”，這是由中國人首先提出來的。

① 有一個數，除以3餘2，除以4餘1，問這個數除以12餘幾？

解：除以3餘2的數有：

2， 5， 8， 11，14， 17， 20， 23….

它們除以12的餘數是：

2，5，8，11，2，5，8，11，….

除以4餘1的數有：

1， 5， 9， 13， 17， 21， 25， 29，….

它們除以12的餘數是：

1， 5， 9， 1， 5， 9，….

一個數除以12的餘數是唯一的，上面兩行餘數中，只有5是共同的，因此這個數除以12的餘數是5。

如果我們把①的問題改變一下，不求被12除的餘數，而是求這個數。很明顯，滿足條件的數是很多的，它是 5+12×整數，

整數可以取0，1，2，…，無窮無盡。事實上，我們首先找出5後，注意到12是3與4的最小公倍數，再加上12的整數倍，就都是滿足條件的數.這樣就是把“除以3餘2，除以4餘1”兩個條件合併成“除以12餘5”一個條件。《孫子算經》提出的問題有三個條件，我們可以先把兩個條件合併成一個，然後再與第三個條件合併，就可找到答案。

②一個數除以3餘2，除以5餘3，除以7餘2，求符合條件的最小數。

解：先列出除以3餘2的數：

2， 5， 8， 11， 14， 17， 20， 23， 26，…，

再列出除以5餘3的數：

3， 8， 13， 18， 23， 28，….

這兩列數中，首先出現的公共數是8.3與5的最小公倍數是15.兩個條件合併成一個就是8+15×整數，列出這一串數是8， 23， 38，…，再列出除以7餘2的數 2， 9， 16， 23， 30，…，

就得出符合題目條件的最小數是23。

事實上，我們已把題目中三個條件合併成一個：被105除餘23

那麼韓信點的兵在1000-1500之間，應該是105×10+23=1073人

中國有一本數學古書《孫子算經》也有類似的問題：今有物，不知其數，三三數之，剩二，五五數之，剩三，七七數之，剩二，問物幾何？

答曰：二十三

術曰：三三數之剩二，置一百四十，五五數之剩三，置六十三，七七數之剩二，置三十，並之，得二百三十三，以二百一十減之，即得。凡三三數之剩一，則置七十，五五數之剩一，則置二十一，七七數之剩一，則置十五，即得。

《孫子算經》的作者及確實著作年代均不可考，不過根據考證，著作年代不會在晉朝之後，以這個考證來説上面這種問題的解法，中國人發現得比西方早，所以這個問題的推廣及其解法，被稱為“中國剩餘定理”。中國剩餘定理（Chinese Remainder Theorem）在近代抽象代數學中佔有一席非常重要的地位。

宋淳祐四至七年（公元1244至1247），秦九韶在湖州為母親守孝三年期間，把長期積累的數學知識和研究所得加以整理，寫成了舉世聞名的數學鉅著《數書九章》。 書成後，並未出版。原稿幾乎流失，書名也不確切。後歷經宋、元到明朝建國，此書無人問津，直到明永樂年間，在解縉主編《永樂大典》時，記書名為《數學九章》。又經過一百多年，經王應麟抄錄後，由王修改為《數書九章》。

全書不但在數量上豐富，重要的是在質量上也是拔尖的。從歷史上來看，秦九韶的《數書九章》可與《九章算術》相媲美；從世界範圍來看，秦九韶的《數書九章》也不愧為世界數學名著。秦九韶不僅為中國贏得無上榮譽，也為世界數學作出了傑出貢獻。

秦九韶是一位既重視理論又重視實踐，既善於繼承又勇於創新，既關心國計民生，體察民間疾苦，主張施行仁政，又積極支持和參加抗金、抗蒙衞國戰爭的世界著名的數學家。他所提出的大衍求一術和正負開方術及其名著《數書九章》，是中國數學史、乃至世界數學史上光彩奪目的一頁，對後世數學發展產生了廣泛的影響。秦九韶獨立推出了三斜求積公式，填補了我國傳統數學的一個空白，從中可以看到我國古代已具有很高的數學水平。清代著名數學家陸心源（1834－1894）稱讚説：“秦九韶能於舉世不談算法之時，講求絕學，不可謂非豪傑之士。”德國著名數學史家M．康托爾(Cantor，1829-1920)高度評價了大衍求一術，他稱讚發現這一算法的中國數學家是“最幸運的天才”。美國著名科學史家薩頓(G·Sarton，1884－1956)説過，秦九韶是“他那個民族，他那個時代，並且確實也是那個時代最偉大的數學家之一”。

安嶽縣秦九韶紀念館被市委市政府命名為資陽首批愛國主義教育基地。

秦九韶紀念館位於圓覺洞內，佔地長寬均為81米，建築面積1538平方米，為仿宋古建築，館內建有數書九章、九韶故里、天文台等景點。

2020年6月，四川歷史名人文化傳承創新工程領導小組評選為“第二批四川歷史名人”。 ^[7]