李冶

李冶進士出身，任鈞州（今河南禹縣）知事。晚年居元氏封龍山，從學者甚眾。著有《測圓海鏡》、《益古演段》，對中國古代代數方法天元術（中國古代建立數學高次方程的方法）有重要貢獻，是我國流傳最早的天元術著作。父親李遹為大興府推官。李遹是位博學多才的學者，曾在大興府尹胡沙虎手下任推官，母親姓王。李冶有兩個同父異母的弟兄，兄名澈，劉氏所生；弟名滋，崔氏所生；還有兩個同胞姐妹。李冶原名叫李治，因為朝廷禁止平民和古代帝王同名，而他的名字又和唐高宗的名字相同，於是就減去了一個點，改名叫李冶。 ^[1] 

李冶自幼聰敏，喜愛讀書，曾在元氏縣（今河北省元氏縣）求學，對數學和文學都很感興趣。《元朝名臣事略》中説：“公（指李冶）幼讀書，手不釋卷，性穎悟，有成人之風。” ^[2] 

李冶出生的時候，金朝正由盛而衰。章宗即位（1190年）後，官僚政治日趨腐敗。由於管理不善，釀成了連年水災。再加上對外戰爭及任意揮霍，金朝出現了財政危機，於是濫發紙幣，致使物價飛漲，國虛民窮。泰和八年（1208），金章宗病死，衞紹王允濟即皇帝位。這時蒙古軍隊加緊向金朝進攻，腐朽的金朝內已潛伏着亡國的危機。李遹的上司胡沙虎是一個深得朝廷寵信的奸臣，“聲勢炎炎，人莫敢仰視”，動輒打罵同僚，欺壓百姓，甚至“虐殺不辜”。李遹見他無惡不作，常常據理力爭，置個人生死禍福於度外。只因為官謹慎，才免遭毒手。李遹為了防備不測，便把老小送回故鄉欒城。這時李冶正是童年，他沒有隨家人回鄉而獨自到欒城的鄰縣元氏求學去了。至寧元年（1213），由於胡沙虎篡權亂政，李遹被迫辭職，隱居陽翟，從此不再過問政事。

父親的正直為人及好學精神對李冶深有影響。在李冶看來，學問比財富更可貴。他説：“積財千萬，不如薄技在身”，又説：“金璧雖重寶，費用難貯蓄。學問藏之身，身在即有餘。”他在青少年時期，對文學、史學、數學、經學都感興趣，曾與好友元好問外出求學，拜文學家趙秉文、楊雲翼為師，不久便名聲大振。

1230年，李冶在洛陽考中詞賦科進士，正大七年（1230），李冶赴洛陽應試，被錄取為詞賦科進士，時人稱讚他“經為通儒，文為名家”。同年得高陵（今陝西高陵）主簿官職，但蒙古窩闊台軍已攻入陝西，所以沒有上任。接着又被調往陽翟附近的鈞州（今河南禹縣）任知事，為官清廉、正直。

1232年，鈞州城被蒙古軍隊攻破。李冶不願投降，只好換上平民服裝，北渡黃河避難。 ^[3]  這是他一生的重要轉折點，將近50年的學術生涯便由此開始了。

李冶北渡後流落於山西的忻縣、崞縣之間，過着“飢寒不能自存”的生活。一年以後（1233），汴京（今河南開封）陷落，元好問也棄官出京，到山西避難。1234年初，金朝終於為蒙古所滅，李冶與元好問都感到政事已無可為，於是潛心學問。李冶經過一段時間的顛沛流離之後，定居於崞山（今山西崞縣）的桐川。金朝的滅亡給李冶生活帶來不幸，但由於他不再為官，這在客觀上使他的科學研究有了充分的時間。他在桐川的研究工作是多方面的，包括數學、文學、歷史、天文、哲學、醫學。其中最有價值的工作是對天元術進行了全面總結，寫成數學史上的不朽名著——《測圓海鏡》。他的工作條件是十分艱苦的，不僅居室狹小，而且常常不得温飽，要為衣食而奔波。但他卻以著書為樂，從不間斷自己的寫作。據《真定府志》記載，李冶“聚書環堵，人所不堪”，但卻“處之裕如也”。他的學生焦養直説他：“雖飢寒不能自存，亦不恤也”，在“流離頓挫”中“亦未嘗一日廢其業”。經過多年的艱苦奮鬥，李冶的《測圓海鏡》終於在1248年完稿。它是我國現存最早的一部系統講述天元術的著作。 ^[4] 

1251年，李冶的經濟情況有所好轉，他結束了在山西的避難生活，回元氏縣封龍山定居，並收徒講學。李冶的學生越來越多，家裏逐漸容納不下了，於是師生共同努力，在北宋李遹讀書堂故基上建起封龍書院。李冶在書院不僅講數學，也講文學和其他知識。他嘔心瀝血，培養出大批人才，並常在工作之餘與元好問、張德輝一起遊封龍山，被稱為“龍山三老”。1257年在開平（今內蒙古正藍旗）與金朝遺老竇默、姚樞、李俊民等多人接受忽必烈召見，又派董文用專程去請李冶，説：“素聞仁卿學優才贍，潛德不耀，久欲一見，其勿他辭。”同年五月，李冶在開平（今內蒙古正藍旗）見忽必烈，陳述了自己的政治見解：“為治之道，不過立法度、正紀綱而已。紀綱者，上下相維持；法度者，賞罰示懲勸。”在談到人才問題時，他説：“天下未嘗乏材，求則得之，舍則失之，理勢然耳。”最後，他向忽必烈提出“辨奸邪、去女謁、屏饞慝、減刑罰、止征伐”五條政治建議，得到忽必烈的讚賞。

李冶會見忽必烈之後，回封龍山繼續講學著書，於1259年寫成另一部數學著作——《益古演段》。1260年，忽必烈即皇帝位，是為元世祖。第二年七月建翰林國史院於開平，聘請李冶擔任清高而顯要的工作——翰林學士知制誥同修國史。但李冶卻以老病為辭，婉言謝絕了。從時代背景及李冶思想分析，他拒絕應聘的原因有二。第一，蒙古統治者沒有接受李冶“止征伐”的建議，而是大舉攻宋，從而引起李冶不滿；第二，忽必烈初登帝位，其弟阿里不哥不服，起兵反抗，蒙古統治區陷入連年內戰。李冶是不願在這種動盪的局勢下作官的。他説：“世道相違，則君子隱而不仕。”

忽必烈降服阿里不哥、平定蒙古內亂後，再召李冶為翰林學士知制誥同修國史。李冶於至元二年（1265）來到燕京（今北京），勉強就職，參加修史工作。但他不久便感到翰林院裏思想不自由，處處都要秉承統治者的旨意而不能暢所欲言。因此，他在這裏工作一年之後便以老病辭職了。李冶是個追求思想自由的人，尤其不願在學術上唯命是從。他説：“翰林視草，唯天子命之；史館秉筆，以宰相監之。特書佐之流，有司之事，非作者所敢自專而非非是是也。今者猶以翰林、史館為高選，是工諛譽而善緣飾者為高選也。吾恐識者羞之。”

李冶辭職後一直在封龍山下講學著書。他在晚年完成的《敬齋古今黈（音tǒu）》與《泛説》是兩部內容豐富的著作。《泛説》一書今已不存，據《元朝名臣事略》中引文及書名判斷，《泛説》是記錄李冶對各種事物見解的隨感錄。《敬齋古今黈》則是李冶的讀書筆記，“上下千古，博極羣書”，在文史方面頗有獨到見解。另外，李冶作過不少詩，其中有五首保存在《元詩選癸集》中。從這些詩來看，李冶的文學造詣相當深。李冶還著有《文集》40卷與《璧書叢削》12卷，均已失傳。1279年，李冶病逝於元氏。李冶在數學上的主要成就是總結並完善了天元術，使之成為中國獨特的半符號代數。這種半符號代數的產生，要比歐洲早三百年左右。他的《測圓海鏡》是天元術的代表作，而《益古演段》則是普及天元術的著作。 ^[3] 

隨着高次方程數值求解技術的發展，列方程的方法也相應產生，這就是所謂“開元術”。在傳世的宋元數學著作中，首先系統闡述開元術的是李冶的《測圓海鏡》。李冶一生著作雖多，但他最得意的還是《測圓海鏡》。他在彌留之際對兒子克修説：“吾平生著述，死後可盡燔去。獨《測圓海鏡》一書，雖九九小數，吾常精思致力焉，後世必有知者。庶可布廣垂永乎？”

李冶的數學研究是以天元術為主攻方向的。這時天元術雖已產生，但還不成熟，就像一棵小樹一樣，需要人精心培植。李冶用自己的辛勤勞動，使它成長為一棵枝葉繁茂的大樹。

天元術

所謂天元術，就是一種用數學符號列方程的方法，“立天元一為某某”相當於今“設x為某某”是一致的。在中國，列方程的思想可追溯到漢代的《九章算術》，書中用文字敍述的方法建立了二次方程，但沒有明確的未知數概念。到唐代，王孝通已經能列出三次方程，但仍是用文字敍述的，而且尚未掌握列方程的一般方法。經過北宋賈憲、劉益等人的工作，求高次方程正根的問題解決了。隨着數學問題的日益複雜，迫切需要一種普遍的建立方程的方法，天元術便在北宋應運而生了、洞淵、石信道等都是天元術的先驅。但直到李冶之前，天元術還是比較幼稚的，記號混亂、複雜，演算煩瑣。例如李冶在東平（今山東省東平縣）得到的講天元術的算書中，還不懂得用統一符號表示未知數的不同次冪，它“以十九字識其上下層，曰仙、明、霄、漢、壘、層、高、上、天、人、地、下、低、減、落、逝、泉、暗、鬼。”這就是説，以“人”字表示常數，人以上九字表示未知數的各正數次冪（最高為九次），入以下九字表示未知數的各負數次冪（最低也是九次），其運算之繁可見一斑。從稍早於《測圓海鏡》的《鈴經》等書來看，天元術的作用還十分有限。李冶則在前人的基礎上，將天元術改進成一種更簡便而實用的方法。當時，北方出了不少算書，除《鈴經》外，還有《照膽》、《如積釋鎖》、《復軌》等，這無疑為李冶的數學研究提供了條件。特別值得一提的是，他在桐川得到了洞淵的一部算書，內有九客之説，專講勾股容圓問題。此書對他啓發甚大。為了能全面、深入地研究天元術，李冶把勾股容圓(即切圓)問題作為一個系統來研究。他討論了在各種條件下用天元術求圓徑的問題，寫成《測圓海鏡》十二卷，這是他一生中的最大成就。 ^[4] 

《測圓海鏡》

《測圓海鏡》不僅保留了洞淵九容公式，即9種求直角三角形內切圓直徑的方法，而且給出一批新的求圓徑公式。卷一的“識別雜記”闡明瞭圓城圖式中各勾股形邊長之間的關係以及它們與圓徑的關係，共六百餘條，每條可看作一個定理（或公式），這部分內容是對中國古代關於勾股容圓問題的總結。後面各卷的習題，都可以在“識別雜記”的基礎上以天元術為工具推導出來。李冶總結出一套簡明實用的天元術程序，並給出化分式方程為整式方程的方法。他發明了負號和一套先進的小數記法，採用了從零到九的完整數碼。除O以外的數碼古已有之，是籌式的反映。但籌式中遇O空位，沒有符號O。從現存古算書來看，李冶的《測圓海鏡》和秦九韶《數書九章》是較早使用O的，它們成書的時間相差不過一年。《測圓海鏡》重在列方程，對方程的解法涉及不多。但書中用天元術導出許多高次方程（最高為六次），給出的根全部準確無誤，可見李冶是掌握高次方程數值解法的。 ^[4] 

《測圓海鏡》不僅是我國現存最早的一部天元術著作，而且在體例上也有創新。全書基本上是一個演繹體系，卷一包含了解題所需的定義、定理、公式，後面各卷問題的解法均可在此基礎上以天元術為工具推導出來。李冶之前的算書，一般採取問題集的形式，各章（卷）內容大體上平列。李冶以演繹法著書，這是中國數學史上的一個進步。

《測圓海鏡》的成書標誌着天元術成熟，對後世有深遠影響。元代王恂、郭守敬在編《授時歷》的過程中，曾用天元術求周天弧度。不久，沙克什用天元術解決水利工程中的問題，收到良好效果。元代大數學家朱世傑説：“以天元演之、明源活法，省功數倍。”清代阮元説：“立天元者，自古算家之秘術；而海鏡者，中土數學之寶書也。”

《益古演段》

《測圓海鏡》的成書標誌着天元術成熟，它無疑是當時世界上第一流的數學著作。但由於內容較深，粗知數學的人看不懂。而且當時數學不受重視，所以天元術的傳播速度較慢。李冶清楚地看到這一點，他堅信天元術是解決數學問題的一個有力工具，同時深刻認識到普及天元術的必要性。他在結束避難生活、回元氏縣定居以後，許多人跟他學數學，這使得他需要編寫教學用書，《益古演段》便是在這種情況下寫成的。《測困海鏡》的研究對象是離生活較遠而自成系統的圓城圖式，《益古演段》則把天元術用於解決實際問題，研究對象是日常所見的方、圓面積。李冶大概認識到，天元術是從幾何中產生的。因此，為了使人們理解天元術，就需回顧它與幾何的關係，給代數以幾何解釋，而對二次方程進行幾何解釋是最方便的，於是便選擇了以二次方程為主要內容的《益古集》（11世紀蔣周撰）。正如《四庫全書·益古演段提要》所説：“此法（指天元術）雖為諸法之根，然神明變化，不可端倪，學者驟欲通之，茫無門徑之可入。惟因方圓冪積以明之，其理尤屆易見。”李冶是很樂於作這種普及工作的，他在序言中説：“使粗知十百者，便得入室啖其文，顧不快哉！” ^[4] 

《益古演段》全書64題，處理的主要是平面圖形的面積問題，所求多為圓徑、方邊、周長之類。除四道題是一次方程外，全是二次方程問題，內容安排基本上是從易到難。李冶在完成《測圓海鏡》之後寫《益古演段》，他對天元術的運用自然會更加熟練。但他卻沒有像前者那樣，完全用天元術解題。書中新舊二術並列，新術是李冶的代數方法——天元術；舊術是蔣周的幾何方法——條段法，這是一種圖解法，因為方程各項常用一段一段的條形面積表示，所以得名。該書揭示了兩者的聯繫與區別，對我們瞭解條段法向天元術的過渡、探討數學發展規律有重要意義。書中常用人們易懂的幾何方法對天元術進行驗證，這對於人們接受天元術是有好處的。該書圖文並茂，深入淺出，不僅利於教學，也便於自學。正如硯堅序中的評價：“説之詳，非若溟津黯淡之不可曉；析之明，非若淺近粗俗之無足觀。”這些特點，使它成為一本受人們歡迎的數學教材，對天元術的傳播發揮了不小的作用。

《益古演段》的價值不僅在於普及天元術，理論上也有創新首先，李冶善於用傳統的出入相補原理及各種等量關係來減少題目中的未知數個數，化多元問題為一元問題。其次，李冶在解方程時採用了設輔助未知數的新方法，以簡化運算 ^[4]  ：該書的問題同《測圓海鏡》不同，所求量不是一個而是兩個、三個甚至四個。按古代方程理論：“二物者再程，三物者三程，皆如物數程之。”應該用方程組來解，所含方程個數與所求量個數一致。但解二次方程組要比解一元方程困難得多。 ^[1]  李冶既已完善了天元術程序，便力圖提高它的一般化程度，用以解決各種多元問題。他的主要方法是利用出入相補原理（即“一個平面圖形從一處移置他處，面積不變。又若把圖形分割成若干塊，那麼各部分面積的和等於原來圖形的面積，因而圖形移置前後諸面積間的和、差有簡單的相等關係。”吳文俊語）及等量關係來減少未知數，化多元為一元，找到關鍵的天元一。一旦這個天元一求出來，其他要求的量就可根據與天元一的關係，很容易求出了。

方程理論新進展

李冶由於擺脱了幾何思維束縛，在方程理論上取得了四項進展：

第一，他改變了傳統的把常數項看作正數的觀念，常數項可正可負，而不再拘泥於它的幾何意義。

第二，李冶已能利用天元術熟練地列出高次方程。在這裏，未知數已具有純代數意義，二次方並非代表面積，三次方程也並非代表體積。

第三，李冶完整解決了分式方程問題，他已懂得用方程兩邊同乘一個整式的方法化分式方程為整式方程。

第四，李冶已懂得用純代數方法降低方程次數。當方程各項含有公因子xn（n為正整數）時，李冶便令次數最低的項為實，其他各項均降低這一次數。 ^[1] 

此外，李冶還發明瞭負號，他的負號不同，是數字上畫一條斜線。而在國外，德國人是在15世紀才引入負號的。李冶還發明瞭一套相當簡明的小數記法，在李冶之前，小數記法離不開數名，如7.59875尺記作七尺五寸九分八釐七毫五絲。李冶則取消數名，完全用數碼錶示小數，純小數在個位處寫0，帶小數於個位數下寫步，如0.25記作○=|||||，這種記法在當時算是最先進的。直到17世紀，英國數學家J·納普爾（1550—1617）發明小數點後，小數才有了更好的記法。

1232年北渡黃河以前，李冶的哲學思想偏於孔孟，信守儒家學説。但北渡之後，他的思想逐漸轉為向道家靠攏。從他的讀書筆記《敬齋古今黈》中展現的思想看來，他對莊子的思想理解甚為深刻，也很贊同。他對朱熹的理學思想並不全面認同，認為其中不通和有爭議的地方也十分多，不應該盲目認同。而他認為“數學雖然是六藝中地位最低的一種技藝，但在實際生活中卻是最需要的”的思想，也有可能來源於莊子。

和秦九韶一樣，李冶並不認為算學是“九九賤技”，認為“小數之假所以為大道所歸”，也就是説“道”既來源於“小數”（技藝），又借“小數”而體現。他曾經在《益古演段》序中説過：“安知軒隸之秘不於是乎始？”（誰知道軒轅隸首得道的秘訣不是始於數學呢？）也許通過對數學這種“小數”的追求也可以達到“技進乎道”的境界。

李冶對當時基於道教和理學的數學神秘主義不以為然。在《測圓海鏡》的序文中，李冶認為自然之數（數字）雖然不可窮盡但數學的道理（自然之理）是可以推導的，而數學的道理如同黑暗中的光亮一般，只要明白了道理，就可以明白數學的奧妙。

李冶也是一位著名的文學家，與好友元好問並稱“元李”。由於其著作集《文集》已失佚，後世對他主要的文學思想的瞭解主要來源於他的《泛説》與《敬齋古今黈》。

李冶文風嚴謹。他曾説：“文章有不當為者五，苟作一也，徇物二也，欺心三也，蠱俗四也，不可以示子孫五也。”在《敬齋古今黈》中，他提出了自己的文學主張。他首先認為，寫文章應當立足實際，但也要善於聯想，不應當穿鑿附會，無中生有。李冶還認為，寫文章應當善於借鑑吸收前人的精華，為己所用，但他同時也嘲笑盲從古人的態度。對於詩文鑑賞，李冶認為詩文的氣質重於文采，重在骨格。

李冶在《敬齋古今黈》中闡述了自己對人性的看法。他認為孟子的“性善論”只能説明“萬物皆有效善之質”，即向善的可能性，而事實上是否向善，則取決於後天的環境。他認為對人的慾望，不可過於約束，也不可不加限制，約束之心太過，就猶如拔苗助長，而放任不理就猶如不耕耘一樣，都無法有好的效果。 ^[5] 

李冶在晚年還寫過《敬齋古今黈》與《泛説》兩部內容豐富的著作。《泛説》四十卷一書今已散佚，根據《元朝名臣事略》中的引用文段來看，是一本隨感錄，記錄李冶對世間事物的見解。《敬齋古今黈》是一本讀書筆記。另外，李冶生平亦作詩不少，《元詩選癸集》保存有五首。此外李冶還有《文集》四十卷、《璧書叢削》十二卷，均已失傳。

天元術並非李冶的獨創，而是從金代起便在中國北方開始萌芽。據祖頤在《四元玉鑑後序》中的記載，李冶以前研究天元術的學者至少有蔣周、李文一、石信道、劉汝諧、李德載等等，但並未提到李冶。而除李冶之外，其它早期天元術的著作也已經失傳。1303年朱世傑的《四元玉鑑》問世，其中將天元術擴展為含有天元、地元、人元和物元的“四元術”，即四元高次方程組的解法，將天元術發展到了一個新的高度。

明代算學比起宋元時期並沒有什麼進展，尤其是天元術因為艱深難懂而少人研究，幾近失傳。明代顧應祥曾經撰寫《測圓海鏡分類釋術》，在序中稱“細考《測圓海鏡》，如求城徑即以二百四十為天元，半徑則以一百二十為天元，既知其數，何用算為？似不必立可也。……每條下細草，雖徑立天元一，反覆合之，而無下手之處，使後學之士茫然無門路之可入。……每章去其細草，立一算術，……各以類分之，語義稍繁者，略加芟損，名曰《測圓海鏡分類釋術》。（仔細考查《測圓海鏡》，求直徑時就令二百四十為天元，求半徑的話則令一百二十為天元，既然已經知道了天元的大小，為什麼還要設天元呢？似乎沒有必要”，完全沒有明白天元術中天元為未知數的含義。他認為書中“每道題的演算中，雖然設立天元，但反覆查看，覺得無從下手，後來的學習者茫然摸不到門道）”，因而將《測圓海鏡》中關於立天元列方程的演算全部刪去，只留下用開方術解方程的過程，以方便後人學習。李儼認為宋金元發展起來的天元術至此已被遺忘。

十八世紀時，隨着西洋算學傳入中國，李冶等人的天元術著作才被後來的數學家重新發現。清朝梅瑴成（梅文鼎之孫）曾經研讀顧應祥的《測圓海鏡分類釋術》，對其中的天元之術感到不解，後來在研習西方的“借根方”法時發現所謂的“借根”就是“立天元”（都是設未知數），方才重新開始認識天元術。之後，《四元玉鑑》等其它天元術著作也被重新認識。後來的《四庫全書》中收錄了李潢家藏本的《測圓海鏡》。1798年，清代大藏書家鮑廷博刊印的《知不足齋叢書》中收錄了李鋭校勘的《測圓海鏡細草》十二卷。之後又有焦循和李鋭在研究了《測圓海鏡》、《益古演段》和《術數九章》後寫的《天元一釋》和《開方通釋》兩書，用較為明白的語言詳細解釋了李冶的天元術和秦九韶的正負開方術。至此，天元術和現代的方程論逐漸融合，而十八世紀末期以後方程論的研究也開始蓬勃發展。之後的相關作品包括1861年朝鮮數學家南秉哲著的《海鏡細草解》、1873年張楚鐘的《測圓海鏡識別詳解》、1896年劉岳雲出版的《測圓海鏡通釋》、1898年葉耀元《測圓海鏡解》，還有李善蘭的《測圓海鏡解》等等。

二十世紀以來，李冶作為中國歷史上重要的數學家，其思想和著作被許多學者所研究。李儼、錢寶琮、梅榮照都曾經對李冶和他的著作進行過研究和考證。孔國平的《李冶傳》是第一本全面論述李冶生平及學術成就的專著。白尚恕、李迪、郭書春、沈康身、洪萬生等對李冶都有深入的研究。李冶和楊輝、秦九韶、朱世傑一起被認為是宋元時期的四大數學家。

1982年法國林立娜（K. Chemla）以測圓海鏡為題的論文獲得巴黎大學博士學位。

關於李冶的名字，《元朝名臣事略》、《元史本傳》、《永樂大典》、《四庫全書總目》、《皕宋樓藏書志》等都寫作李冶。柯劭忞在《新元史》中説李冶本名治，後改成冶。清朝的施國祁認為李冶真名應該是李治，而被稱為李冶是後來以訛傳訛之誤。繆荃孫在《藕香零拾》中也為這種説法提出三條佐證：首先元代王惲的《中堂記事》中有“李治，授翰林學士，知制誥，同修國史”的記載，與李冶的經歷相吻合。其次，元好問的《金故少中大夫程震墓碑》中由李冶題額，上面刻的是李治而不是李冶。最後，元好問在為李冶父親寫的墓誌銘上有寫其三個兒子的名字，其中李冶的名字被寫為李治。他的兄弟名字分別是李澈和李滋。按照漢人起名的習慣，李冶作為三兄弟之一，姓名也應該是五行帶水的。餘嘉錫在《四庫提要辨證》中亦詳加考證，説明李冶原來應該叫李治，但後來改為冶。