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賈憲

鎖定
賈憲,北宋人,約於1050年左右完成《黃帝九章算經細草》,原書佚失,但其主要內容被楊輝(約13世紀中)著作所抄錄,因此傳世。楊輝《詳解九章算法》(1261)載有“開方作法本源”圖,註明“賈憲用此術”。這就是著名的“賈憲三角”,或稱“楊輝三角”。《詳解九章算法》同時錄有賈憲進行高次冪開方的“增乘開方法”。
主要作品
《黃帝九章算法細草》(九卷)和《算法古集》(二卷)
本    名
賈憲
國    籍
中國北宋
民    族
漢族
師    從
楚衍

賈憲人物簡介

賈憲,11世紀前半葉中國北宋數學家。賈憲是中國十一世紀上半葉(北宋)的傑出數學家,曾撰《黃帝九章算法細草》(九卷)和《算法古集》(二卷),都已失傳。據《宋史》記載,賈憲師從數學家楚衍學天文、歷算,著有《黃帝九章算法細草》《釋鎖算書》等書。賈憲著作已佚,但他對數學的重要貢獻,被南宋數學家楊輝引用,得以保存下來。
賈憲的主要貢獻是創造了“賈憲三角”和“增乘開方法”。增乘開方法即求高次冪的正根法。目前中學數學中的綜合除法,其原理和程序都與它相仿。增乘開方法比傳統的方法整齊簡捷,又更程序化,所以在開高次方時,尤其顯出它的優越性。增乘開方法的計算程序大致和歐洲數學家霍納(公元1819年)的方法相同,但比他早770年。
在中國數學史上賈憲最早發現賈憲三角形。楊輝在所著《詳解九章算法》《開方作法本元》一章中作賈憲開方作法圖,並説明“出釋鎖算書,賈憲用此術”。賈憲開方作法圖就是賈憲三角形。楊輝還詳細解説賈憲還發明的釋鎖開平方法,釋鎖開立方法,增乘開平方法,增乘開立方法。

賈憲數學成就

賈憲的老師楚衍是北宋前期著名的天文學家和數學家,“於《九章》《緝古》《綴術》《海島》諸算經尤得其妙”。當時人王洙(997—1057)有記載:“世司天算,楚,為首。既老昏,有,子賈憲、朱吉著名。憲今為左班殿直,吉隸太史。憲運算亦妙,有書傳於世。”根據《宋史·藝文志》記載賈憲著有《黃帝九章算經細草》九卷, [1]  又據《明焦竑國史·藝文志》記載,著有《算法斅古集》二卷 [1]  及《釋鎖》,可惜均已失傳。楊輝著《詳解九章算法》(1261年)中曾引用賈憲的“開方作法本源”圖(即指數為正整數的二項式展開係數表,現稱“楊輝三角形”)和“增乘開方法”(求高次冪的正根法)。前者比帕斯卡(PascalBlaise,1623—1662)三角形早600年,後者比霍納(WilliamGeogeHorner,1786—1837)的方法(1819年)早770年。此外,“立成釋鎖開方法”的給出,“勾股生變十三圖”的完善,以及“增乘方求廉法”的創立,都表明賈憲對算法抽象化、程序化、機械化作出了重要貢獻。

賈憲數學方法

雖然有關賈憲的資料保存下來的並不完整,但從楊輝緝錄的細草中,我們仍然可以發現他的一些獨到的數學思想和方法,主要有以下兩點。

賈憲抽象分析

在研究《九章》過程中,賈憲使用了抽象分析法,尤其在解決勾股問題時更為突出,他首先提出了“勾股生變十三圖”。他説:“勾股弦並而為和,減而為較,等而為變,為乘,為段,自乘為積,為冪。”十三名指勾(a)、股(b)、弦(c)、勾股較(b-a)、勾弦較(c-a)、股弦較(c-b)、勾股和(a+b)、勾弦和(a+c)、股弦和(b+c)、弦較和(c+(b-a))、弦和和(c+(a+b))、弦和較((a+b)-c)、弦較較(c-(b-a))。他完備了勾股弦及其和差的所有關係,説這些關係“有用而取,無用不取,立圖而驗之”,説明他已經拋開《九章》算題本身,並對勾股問題進行抽象分析了。
例如“出南北門測邑方”問,《九章》的方法是:術曰:以出北門步數乘西行步數,倍之為實,並出南門步數為從法,開方除之即邑方。賈憲的方法是:術曰:餘勾乘股,倍之為實並二餘勾為從,開方除不。正是掌握了這一方法,才使他能夠使用純數學的方法改寫《九章》術文,給後人留下公式化的解題範例。在方程術等其他章節的細草中,他也廣泛運用了這種方法。

賈憲程序方法

賈憲 賈憲
程序化方法主要是指探究問題的思維程序、過程和步驟。適用於同一理論體系下,同一類問題的解決。賈憲的“增乘開方法”和“增乘方求廉法”尤其集中地體現了這一方法,比如少廣章有:“今有積一百八十六萬八百六十七尺,問:為立方几何?”這是一道對1860867開三次方的問題。賈憲的方法是:草曰:(1)實上商置第一位得數一百。(2)以上商乘下法置廉一百,乘廉為方一萬,除實,訖。(3)復以上商一百乘下法入廉共二百,乘廉入方共三萬。(4)又乘下法入廉共三百。(5)其方一、廉二、下三退定十。(6)再於第一位商數之次,復商第二位得數二十,以乘下法入廉共三百二十,乘廉入方共三萬六千四百,命上商除實,訖餘一十三萬二千八百六十七。(7)復以次商二十乘下法入廉共三百四十,乘廉入方共四萬三千二百尺。(8)又乘下法入廉共三百六十。(9)其方一、廉二、下三退,如前。(10)上商第三位得數三尺,乘下法入廉共三百六十三,乘廉入方共四萬四千二百八十九,命上商三尺除實,適盡,得立方一面之數。
用現代表述方式體現為:
下法廉方實商
(1)1000000+00-18608671
+1000000+10000001000000
(2)1000000+1000000+1000000-860867
+1000000+2000000
(3)1000000+2000000+3000000
+1000000
(4)1000000+3000000+3000000-860867
1000+30000+300000-8608672
+2000+64000728000
(6)1000+32000+364000-132867
+2000+68000
(7)1000+34000+432000
+2000
(8)1000+36000+432000-132867
1+360+43200-1328673
+3+1089+132867
(10)1+363+442890
我們注意到這個開立方過程,已經形成了固定的程序。當代學者研究發現,程序化的數學思想方法是中國古代數學的重要特點,而賈憲的工作則使得開方程序系統化、規範化。賈憲的數學方法論對宋元數學家產生了深遠影響,縱觀“宋元四大家”,莫不從中汲取精髓。

賈憲教育思想

賈憲是否從事過數學教學工作,我們不得而知,但就宋初私學活躍以及數學地位而言,不能排除他傳授數學知識的可能性,“憲運算亦妙,有書傳於世”當可佐證。我們知道,古代學者著書立説目的之一就是教育世人,因此我們有理由探討賈憲的數學教育思想。仔細研究細草,從中可以發現其數學教育思想的閃光之處。

賈憲重視抽象

賈憲 賈憲
增乘開方法”的兩例細草中,可以清楚的看到,剔除數字後得到的就是運算法則。而且這種細草方式是貫穿其著述(就現存而言)始終的。賈憲之所以這樣做,應該是深受中國古代早已有之的“授人以魚不如授人以漁”的教育思想影響。據現在所知,黃帝九章算經細草》約成書於1050年前後,此書出版後,在社會上流傳較廣,在一定程度上逐漸代替了《九章算術》。南宋鮑浣之於1200年説:“自衣冠南渡以來,此學(指算學)既廢,非獨好之者寡,而《九章算經》亦幾泯沒無傳矣。近世民間之本,題之曰《黃帝九章》……”這也是當時社會對其數學教育思想的認可。

賈憲注重概括

賈憲在給出“立成釋鎖開方法”之後,又提出“增乘方求廉法”並給出六階賈憲三角,解釋開各次方之間的聯繫。討論勾股問題則先論“勾股生變十三圖”,而後談論問題的解法,給人以清晰的體系感。他的這些嘗試,都體現了對知識綱要的重視。郭書春先生認為,這是賈憲“列出概括性理論”,“是演繹邏輯的一種發展”。體現在數學教育上,注重對知識綱要的概括,也不失為一種良好的教學方法。

賈憲系統思想

賈憲 賈憲
現存資料顯示,賈憲沒有涉足劉徽的分數和求微數(即極限理論)領域,他的師兄弟朱吉也曾批評他“棄去餘分,於理未盡”。再加上他在《黃帝九章算經細草》中所討論的開方問題未涉及開不盡情況,他甚至把《九章》中有分數解的問題改題設以得整數解。這些跡象表明他的工作是建立在整數集之上的。在此基礎上他提綱挈領的概括了勾股和開方問題,給出了諸多其他問題的一般性解法,從中我們隱約可以看到系統化方法的痕跡。以賈憲的數學知識水平,他不可能不熟知分數,也不會不瞭解劉徽的求微數思想,只是他對開方開不盡的問題沒有研究透徹。因此在他的著述中才迴避了分數,目的是把自己掌握的數學知識,系統地傳於世人,這在古代數學教育史上是難能可貴的。
賈憲討論九章諸類問題時,不是固守前人的思路和算法,發現了很多新的計算方法。在均輸章中,他提出了“課分法”、“減分法”,以及用“方程術”求差率的方法;在盈不足章中,他提出了“今有術”、“合率術”、“分率術”、“方程術”、“兩不足術”等方法;在“勾股容方”問中,他提出“勾股旁要法”等等。由此可見,賈憲不僅注重概括理論化的研究方法,同時也身體力行地致力於發散性思維的鍛鍊,這對於知識的創新是大有裨益的。賈憲對數學教育的系統化、綱領化、普遍化(抽象化)及思維的多樣化都有一套獨到的見解,許多方面是我們可以借鑑的。

賈憲地位影響

九章算術》是十一世紀以前中國最著名的數學著作,在其流傳過程中,為其做草的人很多。而在數學理論上有突出貢獻的主要是三位數學家----劉徽(理論基礎的奠定)、賈憲(理論水平的提高)和楊輝(理論的基本完善),賈憲起着承前啓後的作用。另一方面,魏晉南北朝興起的數學研究熱潮自唐而中斷,賈憲的數學方法論又激發了宋元的數學研究熱潮,他又起到推波助瀾的作用。具體表現在以下兩個方面。

賈憲數學思想

《九章算術》 《九章算術》
賈憲對於《九章算術》中提出的問題,抽象分析,揭示數學本質;藉助程序化,講解方法的原理;提綱挈領,梳理知識脈絡;注重知識系統化,避免產生悖論。這些思想方法對宋元數學家有很深的影響。楊輝著《詳解九章算法》借鑑了賈憲的抽象和探索成果,對《九章》各題重新纂類。李冶著《測圓海鏡》就繼承併發揚了這些數學方法,建立了一個邏輯嚴密的演繹體系。朱世傑著《四元玉鑑》也用到這些思想方法,成就了我國古代數學史上的巔峯之作。秦九韶著《數術大略》即(《數學九章》)作術而不言具體數字更是師法賈憲,可見其方法論的生命力。當然,這些數學思想方法也並非賈憲獨創,也是歷代數學著述、研究、積累的結果,而賈憲又將其提煉和傳承。

賈憲數學成就

首先,賈憲的“增乘開方法”開創了開高次方的研究課題,後經秦九韶正負開方術”加以完善,使高次方程求正根的問題得以解決。加之從李冶的天元術(一元一次或高次方程)到朱世傑的四元術(四元一次或高次方程組)的建立,終於在十四世紀初建立起一套完整的方程學理論,使之成為宋元數學屆最有成就的課題。其次,賈憲三角的給出,開創了高階等差級數求和問題的研究方向,朱世傑從“三角”的每條斜線上發現了“三角垜”、“撒星形垜”等高階等差級數求和公式。第三,“增乘開方法”事實上簡化了籌算程序,並使程序化更加合理,這對後世籌算、捷算乃至於算具的改進是有啓迪意義的。第四,“細草”這一著述形式開創了一種數學研究方法,被後世數學家廣為借鑑。乾嘉學派在保存和整理數學著作時,就曾對一批算書或註釋或細草圖説。
參考資料
  • 1.    梁宗巨等.數學家傳略詞典:山東教育出版社,1989:264