出入相補原理

我國古代幾何學不僅有悠久的歷史，豐富的內容，重大的成就，而且有一個具有我國自己的獨特風格的體系，和西方的歐幾里得體系不同。

這一幾何體系的全貌還有待於發掘清理，本文僅就出入相補原理這一局部方面，就所知提出幾點，主要根據是流傳至今的以下各經典著作：

《周髀算經》（簡稱《周髀》），

《九章算術》（簡稱《九章》），

劉徽《九章算術注》（簡稱《劉注》），

《海島算經》（簡稱《海島》），

趙爽《日高圖説》和《勾股圓方圖説》（簡稱《日高説》和《勾股説》）。

田畝丈量和天文觀測是我國幾何學的主要起源，這和外國沒有什麼不同，二者導出面積問題和勾股測量問題。稍後的計算容積、土建工程又導出體積問題。

我國古代幾何學的特色之一是，依據這些方面的經驗成果，總結提高成一個簡單明白、看起來似乎極不足道的一般原理——出入相補原理，並且把它應用到形形色色多種多樣的不同問題上去。

所謂出入相補原理，用現代語言來説，就是指這樣的明顯事實：一個平面圖形從一處移置他處，面積不變。又若把圖形分割成若干塊，那麼各部分面積的和等於原來圖形的面積，因而圖形移置前後諸面積間的和、差有簡單的相等關係。立體的情形也是這樣。

應用這一原理，容易得出三角形面積等於高底相乘積的一半這一通常的公式，由此以定任意多角形的面積。作為另一簡單實例，，如果看作把△ACD移置△ACB，又把Ⅰ、Ⅱ各移到Ⅰ′、Ⅱ′，那麼依出入相補原理有：

Ⅲ=Ⅲ′，□PC=□BO，……（指面積相等）由此得

PO×OS=RO×OQ，PQ×QC=RB×BC，……而PO=AR，OS=QC，PQ=AB，RB=OQ，……因而AR：OQ=RO∶QC，AB∶OQ=BC∶QC，……就是相似勾股形ABO和OQC、ABC和OQC的相勾股成比例。並且可以導出其他相應部分的比例關係。

以上這些極簡單的結果雖然沒有在《九章》中明白説出，但是曾經多處用這些關係來解決各種具體問題。

在《周髀》中，就有用兩表測日影以求日高的方法，計算的公式是：

其中A是日，BI是地平面，ED、GF是先後兩表，DH和FI是日影。《海島》改測日高為測海島的高，同圖AB是海島，H、I是人目望島頂和兩表上端相參合的地方，於是日高公式成為：

明末耶穌會傳教士利瑪竇（1552～1610）來我國，他的主要學術工作之一是介紹歐幾里得幾何體系。他曾口授《測量法義》一書，其中載有和海島題完全類似的一題。在他所作的證明中，需要在FI上取一點M使（4）式成立，再用比例理論作證。按常理來説，利瑪竇應該作平行線而取M′使FM′=DH，但是他一反歐幾里得慣例而和我國古代傳統不謀而合，頗使人迷惑不解。

在《周髀》和《九章》中，都已經明確給出了勾股定理的一般形式：勾2+股2=弦2。雖然原證不傳，但是據《勾股説》以及《劉注》，都依出入相補原理證明，並且有遺留到可以用來作證的趙爽殘圖，這幾方面互相參照，原證應該大致如下：

勾股形是ABC，BCED是勾方，EFGH是股方，把二者的和DBCFGH中的△IBD移到△ABC，△GIH移到△GAF，就得到ABIG=弦2，由此就得到勾股定理。歐幾里得《幾何原本》中勾股定理的證明，其中要先證有關三角形全等形以及三角形面積的一些定理，為此要作不少準備工作，因而在《幾何原本》中直到卷一之末出現這一定理，而在整個《幾何原本》中幾乎沒有用到。而在我國，勾股定理在《九章》中已經有多種多樣的應用，成為2000來年數學發展的一個重要的出發點。

在東西方的古代幾何體系中，勾股定理所佔的地位是頗不相同的。勾、股、弦和它們之間的和差共九個數，只須知道其中的二個就可以求得其他幾個。

除勾、股、弦互求就是開方之外，《九章》勾股章中有不少這方面的問題：

第一，知股弦差、勾，求股、弦（五題）；

第二，知勾股差、弦，求勾、股（一題）；

第三，知股弦差、勾弦差，求勾、股、弦（一題）；

第四，知股弦和、勾，求股、弦（一題）。

各題都列出了一般公式，《勾股説》的許多命題也屬這一類，《劉注》還給出了證明，公式的來歷和證明的方法都依據出入相補原理，有的也用比例作別證。

事實上，《周髀》中已經給出了若干具體數目的平方根，而在《九章》中，更詳細説明了開平方的具體方法步驟。這一方法的根據是幾何的，就是出入相補原理。

試以求55225的平方根為例。這相當於已知正方形ABCD的面積就是55225，求邊AB的長，。按我國記數用十進位位值制。因AB顯然是一個百位數，所以求AB的方法就是依次求出百位數字、十位數字和個位數字。先估計（《九章》中用“議”字）百位數字是2，因而在AB上截取AE=200，並且作正方形AEFG，它的邊EF的兩倍稱為“定法”。把AEFG從ABCD中除去，所餘曲尺形EBCDGF的面積是55225-40000=15225。其次估計十位數字是3，在EB上截取EH=30，並且補成正方形AHIJ。從AEFG所增加的曲尺形EHIJGF可以分解成三部分： FH， FJ， FI，面積依次是30×EF，30×FG，302，其中EF=FG=200，所以從ABCD中除去AHIJ，所餘曲尺形HBCDJI的面積是

15225-（2×30×200+302）=2325。

再估計個位數字是5，在HB上截取HK=5，並補作正方形AKLM，從ABCD中除去AKLM後所餘曲尺形面積和前同法應該是

2325-（2×5×230+52）=0。

由此知K和B的平方根恰好是235。

求立方根的方法步驟和這相似，但是要把一立方體逐步進行分解，比平方根求法稍複雜，所依據的仍是出入相補原理，這在《九章》中也有詳細敍述。

我國開平立方法來源很古，它的幾何本質十分清晰，而且方法上可以看出我國獨有而世界古代其他民族所無的位值制記數法的高度優越性。不僅這樣，至遲到11世紀中葉，我國就已經把開平立方法推廣到開任何高次冪，就是所謂“增乘開方法”，並且出現了有關的二項式定理係數表，就是所謂“開方作法本源圖”。從這一方法的幾何淵源看來，如果説當時我國數學家已經有高維方體和高維幾何的稚影，似乎不是全無根據的。

下面的例取自《九章》，ABCD是一方城，出北門北行若干步到G有木，出南門南行若干步到F再西行若干步到H，恰可望見木G，問題是求方城每邊的長。據《劉注》的方法是依山入相補原理得

ET=2 EG=2 KG=2×北步×西步” 為實，以“南步十北步”為從法，開平方除之，得EI，也就是方城邊長。

不僅應用開平方法可得問題（A）的數值解，而且應用出入相補原理，還可以求得解答的精確表達式。如果以長方形的闊作為勾，長作為股，那麼問題（A）相當於：

（C）已知勾股積、勾股差，求勾、股。

大小兩正方形的邊長各是勾股和、勾股差，所以得

勾股和2=4×勾股積+勾股差2。

由此得勾股和，因而得勾和股。同樣也可從勾股和、勾股積求得勾和股，這一方法可以參閲《勾股説》的末一命題。

宋元時期明確引入了未知數的概念。如果以x（當時稱為天元一）表長方形闊，那麼問題（A）相當於解一個二次方程x2+ax=b，其中a相當於從法，b相當於實。所以在古代實質上已經給出了這一形式二次方程（a，b都是正數）的近似解和精確解，前者在宋元時期發展為求任意高次方程的數值解法，後者雖文獻散佚不可查考，但是據唐初王孝通的著作以及史書關於祖沖之的引述看來，不能排除我國曾經對三次方程用幾何方法求得精確表達的可能性。

在其他各國，公元九世紀的時候，阿拉伯數學家花刺子模（約780～約850）的代數學名著中列舉了各種類型二次方程的精確解法，它的方法是幾何的，它的精神實質和出入相補原理頗相類似。公元16世紀，意大利數學家關於三次方程的解法，也完全是幾何的。

如果規定長方形的面積是長闊的積，那麼依據出入相補原理，容易得到：

由此可以完全奠定平面多角形的面積理論。但是在空間情形，如果規定長方體的體積是長、廣、深的積，是否依據出入相補原理，可以推得

由此以建立多面體的體積理論，就不是那麼明顯而極其困難的問題。歐洲直到19世紀末，才把它作為一個難題明確地提了出來。公元1900年德國數學家希耳伯特（1862～1943）在國際數學會上所作著名講演中，把體積理論列為23個問題之一。這一問題立即為德恩（1878～1852）所解決，答案是否定的：兩個多面體要分割成彼此重合的若干多面體，必須滿足某些條件，通稱德恩條件。自此以後直到1965年，一位瑞士數學家西德勒才證明了德恩條件也是充分的。但是問題決不能認為已經徹底解決。從希耳伯特直到晚近，多面體體積理論仍不斷成為一些知名數學家研討的課題。德恩條件敍述複雜，也難認為是合宜的最後形式。