劉徽

《九章算術》約成書於東漢之初，共有246個問題的解法。在許多方面：如解聯立方程，分數四則運算，正負數運算，幾何圖形的體積面積計算等，都屬於世界先進之列。劉徽在曹魏景元四年注《九章算術注》。

但因解法比較原始，缺乏必要的證明，劉徽則對此均作了補充證明。在這些證明中，顯示了他在眾多方面的創造性貢獻。他是世界上最早提出十進小數概念的人，並用十進小數來表示無理數的立方根。在代數方面，他正確地提出了正負數的概念及其加減運算的法則，改進了線性方程組的解法。在幾何方面，提出了"割圓術"，即將圓周用內接或外切正多邊形窮竭的一種求圓面積和圓周長的方法。他利用割圓術科學地求出了圓周率π≈3.1416的結果。他用割圓術，從直徑為2尺的圓內接正六邊形開始割圓，依次得正12邊形、正24邊形……，割得越細，正多邊形面積和圓面積之差越小，用他的原話説是“割之彌細，所失彌少，割之又割，以至於不可割，則與圓周合體而無所失矣。”他計算了3072邊形面積並驗證了這個值。劉徽提出的計算圓周率的科學方法，奠定了此後千餘年來中國圓周率計算在世界上的領先地位。

劉徽在數學上的貢獻極多，在開方不盡的問題中提出“求徽數”的思想，這方法與後來求無理根的近似值的方法一致，它不僅是圓周率精確計算的必要條件，而且促進了十進小數的產生；在線性方程組解法中，他創造了比直除法更簡便的互乘相消法，與現今解法基本一致；並在中國數學史上第一次提出了“不定方程問題”；他還建立了等差級數前n項和公式；提出並定義了許多數學概念：如冪（面積）；方程（線性方程組）；正負數等等．劉徽還提出了許多公認正確的判斷作為證明的前提．他的大多數推理、證明都合乎邏輯，十分嚴謹，從而把《九章算術》及他自己提出的解法、公式建立在必然性的基礎之上。雖然劉徽沒有寫出自成體系的著作，但他注《九章算術》所運用的數學知識，實際上已經形成了一個獨具特色、包括概念和判斷、並以數學證明為其聯繫紐帶的理論體系。

劉徽在割圓術中提出的"割之彌細，所失彌少，割之又割以至於不可割，則與圓合體而無所失矣"，這可視為中國古代極限觀念的佳作。《海島算經》一書中，劉徽精心選編了九個測量問題，這些題目的創造性、複雜性和富有代表性，都在當時為西方所矚目。劉徽思想敏捷，方法靈活，既提倡推理又主張直觀。他是中國最早明確主張用邏輯推理的方式來論證數學命題的人。

劉徽的數學成就大致為兩方面：

一是整理中國古代數學體系並奠定了它的理論基礎，這方面集中表達在《九章算術注》中。它實已形成為一個比較完整的理論體系：

數系理論

①用數的同類與異類闡述了通分、約分、四則運算，以及繁分數化簡等的運算法則；在開方術 的註釋中，他從開方不盡的意義出發，論述了無理方根的存在，並引進了新數，創造了用十進分數無限逼近無理根的方法。

②在籌式演算理論方面， 先給率以比較明確的定義，又以遍乘、通約、齊同等三種基本運算為基礎，建立了數與式運算的統一的理論基礎，他還用“率”來定義中國古代數學中的“方程”，即現代數學中線性方程組的增廣矩陣。

③在勾股理論方面 逐一論證了有關勾股定理與解勾股形的計算原理，建立了相似勾股形理論，發展了勾股測量術，通過對“勾中容橫”與“股中容直”之類的典型圖形的論析，形成了中國特色的相似理論。

面積與體積理論

用出入相補、以盈補虛的原理及“割圓術”的極限方法提出了劉徽原理，並解決了多種幾何形、幾何體的面積、體積計算問題。這些方面的理論價值仍閃爍着餘輝。

二是在繼承的基礎上提出了自己的創見。這方面主要體現為以下幾項有代表性的創見：

①割圓術與圓周率， 他在《九章算術 圓田術》注中，用割圓術證明了圓面積的精確公式，並給出了計算圓周率的科學方法。他首先從圓內接六邊形開始割圓，每次邊數倍增，算到192邊形的面積，得到π=157/50=3.14，又算到3072邊形的面積，得到π=3927/1250=3.1416，稱為“徽率”。

②劉徽原理 在《九章算術陽馬術》注中，他在用無限分割的方法解決錐體體積時，提出了關於多面體體積計算的劉徽原理。

“牟合方蓋”説

在《九章算術 開立圓術》注中，他指出了球體積公式V=9D3/16(D為球直徑)的不精確性，並引入了“牟合方蓋”這一著名的幾何模型。“牟合方蓋”是指正方體的兩個軸互相垂直的內切圓柱體的貫交部分。

在《九章算術 方程術》注中，他提出瞭解線性方程組的新方法，運用了比率算法的思想。

在自撰《海島算經》中，他提出了重差術，採用了重表、連索和累矩等測高測遠方法。他還運用“類推衍化”的方法，使重差術由兩次測望，發展為“三望”、“四望”。而印度在7世紀，歐洲在15～16世紀才開始研究兩次測望的問題。劉徽的工作，不僅對中國古代數學發展產生了深遠影響，而且在世界數學史上也確立了崇高的歷史地位。鑑於劉徽的巨大貢獻，所以不少書上把他稱作“中國數學史上的牛頓”。

其代表作《九章算術注》是對《九章算術》一書的註解。《九章算術》是中國流傳最古老的數學專著之一，它成書於西漢時期。這部書的完成經過了一段歷史過程，書中所收集的各種數學問題，有些是秦以前流傳的問題，長期以來經過多人刪補、修訂，最後由西漢時期的數學家整理完成。現今流傳的定本的內容在東漢之前已經形成。

《九章算術》是中國最重要的一部經典數學著作，它的完成奠定了中國古代數學發展的基礎，在中國數學史上佔有極為重要的地位。現傳本《九章算術》共收集了246個應用問題和各種問題的解法，分別隸屬於方田、粟米、衰分、少廣、商功、均輸、盈不足、方程、勾股九章。

《九章算術》的產生是社會發展和數學知識長期積累的結果，它彙集了不同時期數學家的勞動成果。三國時的數學家劉徽認為：“周公制禮有九數，九數之流，則《九章》是矣。……漢北平侯張蒼、大司農中丞耿壽昌皆以善算命世。蒼等因舊文之遺殘，各稱刪補。故校其目則與古或異，而所論多近語也。”根據劉徽的考證結果，《九章算術》源於周公時代的“九數”，而他所見到的《九章算術》是西漢時的張蒼、耿壽昌在先秦遺文的基礎上刪補而成的，其中包括了大量西漢時補充的內容。根據歷史文獻和出土文物資料來分析，劉徽所言是可信的。

《九章算術》所包含的各種算法是漢朝數學家們在秦以前流傳下來的數學基礎上，適應當時的需要補充修訂而成的。按照劉徽的考證，張蒼和耿壽昌都是參加過修訂工作的主要數學家。《史記·張丞相列傳》記載，張蒼（約公元前250～公元前152）經歷了秦、漢兩個朝代，他在高帝六年（公元前201年）以攻藏茶有功封為北平侯。“自秦時為柱下史，明天下圖書計籍。又善用算律歷。”他還“著書18篇，言陰陽律歷事。”耿壽昌的生年年代不詳，漢宣帝時官至大司農中丞，“以善為算，能商功利”得寵於皇帝（見《漢書·食貨志》）。他於天文學主張渾天説，甘露二年（公元前52年）奏“以圓儀度日月行，考驗天運狀”（見《後漢書·律曆志》）。張蒼和耿壽昌都是數學名家，又身居高位，由他們主持修訂先秦流傳下來的《算術》是很自然的事情。根據劉徽的記載，他所註釋的《九章算術》最後是由耿壽昌刪定的。我們認為耿壽昌刪補《九章算術》的年代可以定為這部書完成的年代。

《九章算術》是由國家組織力量編纂的一部官方性數學教科書，對兩漢時期數學的發展產生了很大的影響。《廣韻》卷四有“九章術，漢許商、杜志、吳陳熾、王粲並善之”，《後漢書·馬援傳》有馬續（約70～141年）“博觀羣籍，善九章算術”負記載。此外，史書中還有鄭玄（127～200年）、劉洪等人“通九章算術”的記述。可知該書是當時學習數學的重要教材，在東漢光和二年（179）一塊銅版上的銘文規定：“大司農以戊寅（138？）詔書，……特更為諸州作銅鬥、斜、稱。依黃鐘律歷，《九章算術》以均長短、輕重、大小，以齊七政，令海內都同。”這説明該書在東漢時期不僅廣為流傳，而且度量衡研製涉及的數學問題也要以書中的算法為依據。許商、杜志可能是《九章算書》成書後最早研究過該書的數學家。許商、杜志都是西漢後期的數學家。《漢書·藝文志》著錄有《許商算術》26卷、《杜志算術》16卷。這兩部書都是漢成帝三年（前26）尹鹹校對數術著作之前撰寫的。許商、杜志的著作完成年代與耿壽昌刪補《九章算術》的年代相去不遠，他們的數學著作應當是在研究了《九章算術》的基礎上完成的。

《九章算術》不僅在中國數學史上佔有重要地位，對世界數學的發展也有着重要的貢獻。分數理論及其完整的算法，比例和比例分配算法，面積和體積算法，以及各類應用問題的解法，在書中的方田、粟米、衰分、商功、均輸等章已有了相當詳備的敍述。而少廣、盈不足、方程、勾股等章中的開立方法、盈不足術（雙假設法）、正負數概念、線性聯立方程組解法、整數勾股弦的一般公式等內容都是世界數學史上的卓越成就。 傳本《九章算術》有劉徽注和唐李淳風等的註釋。

劉徽是中國古代傑出的數學家，他生活在三國時代的魏國。《隋書·律曆志》論歷代量制引商功章注，説“魏陳留王景元四年（263）劉徽注《九章》。”他的生平不可詳考。劉徽的《九章》注不僅在整理古代數學體系和完善古算 理論方面取得了重要成就，而且提出了豐富多彩的創見和發明。劉徽在算術、代數、幾何等方面都有傑出的貢獻。例如，他用比率理論建立了數與式的統一的理論基礎，他應用了出入相補原理和極限方法解決了許多面積和體積問題，建立了獨具風格的面積和體積理論。他對《九章》中的許多結論給出了嚴格的證明，他的一些方法對後世有很大啓發，即使對現今數學也有可借鑑之處。

《晉書卷一十六志第六》：魏景元四年，劉徽注《九章》雲：王莽時劉歆斛尺弱於今尺四分五釐，比魏尺其斛深九寸五分釐；即荀勖所謂今尺長四分半是也。

魏陳留王景元四年，劉徽注《九章商功》曰：「當今大司農斛，圓徑一尺三寸五分五釐，深一尺，積一千四百四十一寸十分寸之三。王莽銅斛，於今尺為深九寸五分五釐，徑一尺三寸六分八釐七毫。以徽術計之，於今斛為容九鬥七升四合有奇。」 ^[2] 

《宋書卷十三志第三》：漢時斛銘，劉歆詭謬其數，此則算氏之劇疵也。《乾象》之弦望定數，《景初》之交度週日，匪謂測候不精，遂乃乘除翻謬，斯又歷家之甚失也。及鄭玄、闞澤、王蕃、劉徽，並綜數藝，而每多疏舛。 ^[3]