九章算術注

作者：劉徽

劉徽（約公元225年—295年），漢族，山東鄒平人，魏晉期間偉大的數學家，中國古典數學 理論的奠基者之一。是中國數學史上一個非常偉大的數學家，他的傑作《九章算術注》和《海島算經》，是中國最寶貴的數學遺產劉徽思想敏捷，方法靈活，既提倡推理又主張直觀．他是中國最早明確主張用邏輯推理的方式來論證數學命題的人．劉徽的一生是為數學刻苦探求的一生．他雖然地位低下，但人格高尚．他不是沽名釣譽的庸人，而是學而不厭的偉人，他給我們中華民族留下了寶貴的財富。

《九章算術注》中所藴涵的科學思想可謂極其深邃。邏輯思想、重驗思想、極限思想、求理思想、創新思想、對立統一思想和言意思想等均是其科學思想的真實體現。劉徽集各家優秀思想方法，並加以創新而用於數學研究，使以《九章算術》為代表的中國傳統數學發生了根本性的變化，並上升到了一個新的階段，他是遙遙領先於中國傳統數學領域的傑出代表，也堪稱是世界數學泰斗。

①在數系理論方面

用數的同類與異類闡述了通分、約分、四則運算，以及繁分數化簡等的運算法則；第一次地比較明確地給出了正數、負數的概念，探討了數系理論的基本元素的問題；還明確闡釋了正負數的表示方法（用赤、黑色的相關算具），並解決了正負數運算中與原算具有衝突的問題（比如用黑減赤，即用負減正時候算具上不夠減的困境），事實上完善了劉洪的正負數加減方法；在開方術的註釋中，他從開方不盡的意義出發，論述了無理方根的存在，並引進了新數，創造了用十進分數無限逼近無理根的方法【按，關於開方術中劉徽是否已經論述了無理方根的存在之問題還有待進一步研究，李繼閔先生在1990年的作品《<九章算術>及其劉徽注研究》中認為劉徽在少廣章開方術的注中所講的“以面命之”中的“面”即指所謂的根數。但在吳文俊先生後來主編的《中國數學史大系》叢書（李繼閔先生是此叢書副主編）中，則又提出在我國三國時代的數學用語中，“命”字更通常是“命分”一詞的簡寫，另一方面從劉徽註文上下文意來看，即使“以面命之”真的是李先生所説的用“面”來命名這種新數，這裏所説的新數也更應該指二次根數，而非我們意義上的無理數 ^[1]  。】

②在籌式演算理論方面

先給率以比較明確的定義，又以遍乘、通約、齊同等三種基本運算為基礎，建立了數與式運算的統一的理論基礎，他還用“率”來定義中國古代數學中的“方程”，即現代數學中線性方程組的增廣矩陣。

③在勾股理論方面

逐一論證了有關勾股定理與解勾股形的計算原理，建立了相似勾股形理論，發展了勾股測量術，通過對“勾中容橫”與“股中容直”之類的典型圖形的論析，形成了中國特色的相似理論。

④在面積與體積理論方面

用出入相補、以盈補虛的原理及“割圓術”的極限方法提出了劉徽原理，並解決了多種幾何形、幾何體的面積、體積計算問題。這些方面的理論價值仍閃爍着餘輝。

二是在繼承的基礎上提出了自己的創見。這方面主要體現為以下幾項有代表性的創見：

①割圓術與圓周率

他在《九章算術·圓田術》注中，用割圓術證明了圓面積的精確公式，並給出了計算圓周率的科學方法。他首先從圓內接六邊形開始割圓，每次邊數倍增，算到192邊形的面積，得到π=157/50=3.14，又算到3072邊形的面積，得到π=3927/1250=3.1416，稱為“徽率”。

②劉徽原理

在《九章算術·陽馬術》注中，他在用無限分割的方法解決錐體體積時，提出了關於多面體體積計算的劉徽原理。

③“牟合方蓋”説

在《九章算術·開立圓術》注中，他指出了球體積公式V=9D3/16(D為球直徑)的不精確性，並引入了“牟合方蓋”這一著名的幾何模型。“牟合方蓋”是指正方體的兩個軸互相垂直的內切圓柱體的貫交部分。

④方程新術

在《九章算術·方程術》注中，他提出瞭解線性方程組的新方法，運用了比率算法的思想。

⑤重差術

在白撰《海島算經》中，他提出了重差術，採用了重表、連索和累矩等測高測遠方法。他還運用“類推衍化”的方法，使重差術由兩次測望，發展為“三望”、“四望”。而印度在7世紀，歐洲在15～16世紀才開始研究兩次測望的問題。