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立方體

(幾何圖形)

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立方體,也稱正方體,是由6個正方形面組成的正多面體,故又稱正六面體。它有12條邊和8個頂點。其中正方體是特殊的長方體。 [1] 
中文名
立方體
外文名
Cube
別    名
正方體
組    成
6個正方形面組成
引用學科
幾何學
含    有
12條邊和8個頂點

立方體定義

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立方體 立方體
立方體,是由6個相同大小的正方形圍成的立體圖形,故又稱正六面體,英文拼寫是Cube。
立方體(Cube),是由6個正方形面組成的正多面體,故又稱正六面體(Hexahedron)、正方體正立方體。它有12條稜(邊)和8個頂(點),是五個柏拉圖立體之一。
立方體是一種特殊的正四稜柱、長方體、三角偏方面體、菱形多面體、平行六面體,就如同正方形是特殊的矩形菱形平行四邊形一様。立方體具有正八面體對稱性,即考克斯特BC3對稱性,施萊夫利符號{4,3},考克斯特-迪肯符號,與正八面體對偶。

立方體立方體特徵

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面的圖形:正方形
面的數目:6
邊的數目:12
頂點數目:8
表面積:
體積:
二面角角度:
外接球半徑:
內接球半徑:
對偶多面體:正八面體
在所有表面積一定的長方體中,立方體的體積最大,同樣,在所有線性大小(長寬高之和)一定的長方體中,立方體的體積也是最大的。反過來,體積相等的長方體中,立方體擁有最小表面積和線性大小。

立方體幾何性質

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圖1 立方體的11種不同展開圖 圖1 立方體的11種不同展開圖
立方體有11種不同的展開圖,即是説,我們可以有11種不同的方法切開空心立方體的7條稜而將其展平為平面圖形,見圖1。 [2] 
立方體的11種不同展開圖。
如果我們要將立方體塗色而使相鄰的面不帶有相同的顏色,則我們至少需要3種顏色(類似於四色問題)。
立方體是唯一能夠獨立密鋪三維歐幾里得空間的柏拉圖正多面體,因此立方體堆砌也是四維唯一的正堆砌(三維空間中的堆砌拓撲上等價於四維多胞體)。它又是柏拉圖立體中唯一一個有偶數邊面——正方形面的,因此,它是柏拉圖立體中獨一無二的環帶多面體(它所有相對的面關於立方體中心中心對稱)。
將立方體沿對角線切開,能得到6個全等的正4稜柱(但它不是半正的,底面稜長與側稜長之比為2:√3)將其正方形面貼到原來的立方體上,能得到菱形十二面體(Rhombic Dodecahedron)(兩兩共面三角形合成一個菱形)。

立方體聯繫

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將立方體的其中四個頂點相連,而這四個頂點任何兩條都沒有落在立方體同一條的邊上,可得到一個正四面體,其邊長為立方體邊長的
,其體積為立方體體積的
[2] 
立方體的對偶多面體正八面體
當正八面體在立方體之內:
正八面體體積: 立方體體積=[(1/3)×高×底面積]×2: 邊=(1/3)(n/2)[(n)/2]2: n=1: 6
星形八面體的對角線可組成一個立方體。
截半立方體:從一條稜斬去另一條稜的中點得出
截角立方體
超正方體:立方體在高維度的推廣。更加一般的,立方體是一個大家族,即立方形家族(又稱超方形、正測形)的3維成員,它們都具有相似的性質(如二面角都是90°、有類似的超體積公式,即Vn-cube=a等)。
長方體、偏方面體的特例。

立方體應用

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立方體日常生活

食鹽和糖的結晶體都是立方狀;
骰子最常見的形狀就是立方體;
1967年世界博覽會的「立方體房間」。

立方體遊戲

索馬立方;
扭扭骰;
Slothouber-Graatsma 立方:以6個1×2×2及3個單位立方組成3×3×3的立方(僅有一個解法);
康威立方:以3個1×1×3,13個1×2×4,及1×2×2和2×2×2的長方體各一個,組成一個5×5×5的立方(572個解)。

立方體視錯覺

奈克方塊;
不可能方塊。

立方體數學問題

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立方體體積與表面積

立方體倍立方體問題

參見尺規作圖,已經證明此題無法用無刻度的直尺與圓規去畫出
的位置

立方體最大的橫切面

立方體的橫切面只有四種:
其中以正六邊形的面積最大,若立方體的稜長為a,則正六邊形的面積為
參考資料
  • 1.    伯努瓦・B・曼德布羅特, 陳守吉, 凌復華. 大自然的分形幾何學[M]. 上海遠東出版社, 1998.
  • 2.    陶士良. 抓住特徵巧解立方體[J]. 數學大世界:初一二輔導, 2004(9):12-13.