高維幾何

粗略地講，從線性代數的角度説，一個歐幾里得空間就是一個實數域R上的有限維線性賦範內積空間。 ^[2] 

而在微分幾何學中，作為曲面概念的推廣，一個(實)n維流形是一個賦予了微分結構的(實)拓撲流形。

一個(滿足Hausdorff 分離性以及第二可數性的)拓撲空間，如果每一點都有一個鄰域與n維歐氏空間中的開集同胚，則稱這個拓撲空間為一個(實)拓撲流形。 ^[3] 

n維歐幾里得空間:

我們都知道平面中的勾股定理(畢達哥拉斯定理)，

，我們還可以將其推廣至三維空間:

。同理，對於四維，五維甚至更高維的空間，我們都可以這麼幹。很自然地，我們可以通過與平面及三維空間的類比，大致瞭解n維歐幾里得空間的性質。 ^[2] 

n維流形:

如果沒有事先獲取相關知識，一個人會很自然地以為地球的表面是平坦的，正如古人所提出的"天圓地方"。然而我們知道，它其實更像一個球面，看起來像平面，是因為地球太大而人太小。相信3維歐氏幾何學可以很好地描述我們的宇宙是一個自然的想法，然而，這是錯誤的，與相信2維歐式幾何學可以很好地描述地球表面一樣錯誤。 ^[1] 

在數學上描述一個正常的"三維空間"很容易，只需對空間的每一點都賦以一個實數三元組(x,y,z)作為其座標即可。而描述一個"球形"空間，其實也不難，可以將其嵌入一個四維歐式空間，對四維空間的每一點如三維空間時一般賦予座標，然後就可以用一個方程描述這個"球形"空間:

。對於構成球形空間的每一個點，它在四維空間中的座標都(x,y,z,w)都滿足上述方程。這樣，我們就把一個三維空間描述為一個4維球體的表面，正如

方程描述半徑為r的、3維球體的2維表面一樣。 ^[1] 

這就是外藴幾何學的做法。

而如果我們試圖以廣義相對論的思想研究我們所處空間的引力，我們顯然不能這麼做，我們無法確定我們的宇宙存在於一個未曾觀測到的四維空間中。 ^[4] 

但事實上，上文所述的3維球面

也可以“內藴”地定義。 ^[1] 

如果用內藴幾何學的方法描述我們自身所處的空間，那麼我們的處境就如同一個巨大二維曲面上的一個小螞蟻。我們可以考慮將三維空間的信息用二維的方式表示。 ^[1] 

在微積分中，如果f是一個從實數軸到實數軸的映射(函數)，對於它在二維笛卡爾座標系的(曲線)圖像，可以使用放大鏡去看，放得越大，所觀察的圖像段就越像一條直線。對於曲面，也是同樣的道理。 ^[5] 

我們都知道世界地圖是什麼樣的。考慮一個地圖集，它由許多平面的地圖頁訂成。例如有一頁是法國地圖，另一頁是德國地圖。因為這兩個國家相鄰，兩張地圖頁會有重疊部分，對於重疊部分就需要説明，這一頁的這一點，對應那一頁的哪一點。例如斯特拉斯堡，在法國地圖上，它可能位於地圖右上角，而在德國地圖，它可能就位於地圖左下角。 ^[1] 

雖然整個地圖集描述的是一個3維宇宙中的一個對象，但是地球表面的幾何學卻只需從平面的圖頁上讀出。這件事雖然不方便，但卻是可能的。例如可以這樣描述旋轉:第三頁的某一部分要移動到第七頁的某一部分，雖然有點扭曲，卻是相似的。 ^[1] 

接下來牽扯到一些具體的數學概念。 ^[1] 

地球的表面，如果進行適當的數學抽象，忽略無關細節，就是一個數學上的2維流形。 ^[1] 

而我們所處的四維時空，就是一個四維流形，其內藴曲率與能量的關係由愛因斯坦的引力場方程描述。 ^[4]