奧數

國際數學奧林匹克(International Mathematical Olympiads)簡稱IMO，是一項以數學為內容，以中學生為對象的國際性競賽活動，至今已有30餘年的歷史。國際數學奧林匹克作為一項國際性賽事，由國際數學教育專家命題，出題範圍超出了所有國家的義務教育水平，難度大大超過大學入學考試。2012年，IMO已成為一項國際上最有影響力的學科競賽，同時也是公認水平最高的中學生數學競賽。中國的數學競賽始於1956年。在著名數學家華羅庚、蘇步青等人的倡導下，由中國數學理事會發起，北京、天津、上海、武漢四城市首先舉辦了高中數學競賽。

有認為，表述為“數學奧林匹克競賽”的簡稱應是“數學奧賽”。表述為“數學奧林匹克競賽題”的簡稱應是“數學奧賽題”。表述為“數學模擬奧林匹克競賽題”的簡稱應是“數學模擬奧賽題。”

1934年和1935年蘇聯開始在列寧格勒和莫斯科舉辦中學數學競賽，並冠以數學奧林匹克的名稱。1959年羅馬尼亞數學物理學會邀請東歐國家中學生參加，在布加勒斯特舉辦了第一屆國際數學奧林匹克競賽，從此每年舉辦一次，至今已舉辦了52屆。

中國代表在數學奧林匹克上的成績就像中國健兒在奧運會的成績一樣，突飛猛進，從40屆到第43屆，中國代表隊連續四年總分第一。

奧數相對比較深，數學奧林匹克活動的蓬勃發展，極大地激發了廣大少年兒童學習數學的興趣，成為引導少年積極向上，主動探索，健康成長的一項有益活動。有許多涉及到實際應用的問題，如計數、圖論、邏輯、抽屜原理等。解決這類問題，一般都需要對實際問題的數學意義進行分析、歸納，把實際問題抽象成為數學問題，然後用相應的數學知識和方法去解決。

在這一構造數學模型的過程中，能夠有效地培養學生用數學觀點看待和處理實際問題的能力，提高學生用數學語言和模型解決實際問題的意識和能力，提高學生揭示實際問題中隱含的數學概念及其關係的能力等等。使學生能夠在這一創造性思維過程中，看到數學的實際作用，感受到數學的魅力，增強學生對數學美的感受力。在強調素質教育的今天，奧林匹克數學的這一教育功能有着更為重要的現實意義。

因為出現了各種民辦比賽，使“佔坑班”得到猛烈發展，使大部分學生開始討厭數學，討厭奧數。

獎項名稱：國際奧林匹克數學競賽

其他名稱：International Mathematics Olympiad

創辦時間：1959年

主辦單位：由參賽國輪流做主辦單位

國際奧林匹克數學競賽是國際中學生數學大賽，在世界上影響非常之大。國際奧林匹克競賽的目的是：發現鼓勵世界上具有數學天份的青少年，為各國進行科學教育交流創造條件，增進各國師生間的友好關係。這一競賽1959年由東歐國家發起，得到聯合國教科文組織的資助。第一屆競賽由羅馬尼亞主辦，1959年7月22日至30日在布加勒斯特舉行，保加利亞、捷克斯洛伐克、匈牙利、波蘭、羅馬尼亞和蘇聯共7個國家參加競賽。以後國際奧林匹克數學競賽都是每年7月舉行（中間只在1980年斷過一次），參賽國從1967年開始逐漸從東歐擴展到西歐、亞洲、美洲，最後擴大到全世界。到2012年，參加這項賽事的代表隊有80餘支。美國1974年參加競賽，中國1985年參加競賽。經過40多年的發展，國際數學奧林匹克的運轉逐步制度化、規範化， 有了一整套約定俗成的常規，併為歷屆東道主所遵循。國際奧林匹克數學競賽由參賽國輪流主辦，經費由東道國提供，但旅費由參賽國自理。參賽選手必須是不超過20歲的中學生，每支代表隊有學生6人，另派2名數學家為領隊。試題由各參賽國提供，然後由東道國精選後提交給主試委員會表決，產生6道試題。東道國不提供試題。試題確定之後，寫成英、法、德、俄文等工作語言，由領隊譯成該國文字。

主試委員會的職責有7條：

1．選定試題 2.確定評分標準

3．用工作語言準確表達試題，並翻譯、核准，譯成各參加國文字的試題

4．比賽期間，確定如何回答學生用書面提出的關於試題的疑問

5．解決個別領隊與協調員之間在評分上的不同意見

6．決定獎牌的個數與分數線。

7．競賽設一等獎（金牌）、二等獎（銀牌）、三等獎（銅牌），比例大致為1：2：3；獲獎者總數不能超過參賽學生的半數。各屆獲獎的標準與當屆考試的成績有關。

國際奧林匹克數學競賽由參賽國輪流主辦，經費由東道國提供，但旅費由參賽國自理。參賽選手必須是不超過20歲的中學生，每支代表隊有學生6人，另派2名數學家為領隊。試題由各參賽國提供，然後由東道國精選後提交給主試委員會表決，產生6道試題。東道國不提供試題。試題確定之後，寫成英、法、德、俄文等工作語言，由領隊譯成該國文字。主試委員會由各國的領隊及主辦國指定的主席組成。這個主席通常是該國的數學權威。主試委員會的職責有6條：1）、選定試題；2）、確定評分標準；3）、用工作語言準確表達試題，並翻譯、核准譯成各參加國文字的試題；4）、比賽期間，確定如何回答學生用書面提出的關於試題的疑問；5）、解決個別領隊與協調員之間在評分上的不同意見；6）、決定獎牌的個數與分數線。

考試分兩天進行，每天連續進行4.5小時，考3道題目。同一代表隊的6名選手被分配到6個不同的考場，獨立答題。答卷由該國領隊評判，然後與組織者指定的協調員協商，如有分歧，再請主試委員會仲裁。每道題7分，滿分為42分。

“題海無邊，題型有限”。學習數學必須要有紮實的基本功，有了紮實的基本功再進行“奧數”的學習就顯得水到渠成了。學習奧數最好從小學3、4、5年級開始。在孩子真正掌握了“奧數”的學習方法後，堅持每天做一定數量的練習題就顯得尤為重要。做題的前提是對學過的知識有了透徹的領悟，做題不光是隻做難題，簡單、中等、難，這三類題都要做，最好把比例控制在3：5：2為最佳。從而避免了孩子難題還會做，中等題和基本題總是準確率不高的現象。五年級開始後要堅持每天做十道左右的題。為了提高孩子解題速度，根據題目的難度每次限時40-60分鐘，然後由家長嚴格計時並根據標準答案判分。記錄不會做或做錯的題目，有能力的家長可以自己給孩子講解，最好把一時不理解的題目請教相關的有豐富經驗的老師，直至弄懂、弄通為止。對於做題中發現的問題及時解決，這是我們做題最終的也是最重要的目的！以前不會做或做錯的題目，以後一定要讓孩子不定時的至少再做一次！題目的選擇可根據正在學習的奧數課程和輔導老師的建議，由孩子和家長一起討論來決定。學習幾個知識點後一定要做一些綜合試卷或綜合題，主要針對孩子學習的“薄弱”環節，要求輔導老師必須有針對性地給孩子多做些題目。做題的另一個目的就是要從小培養孩子具有舉一反三、融會貫通的能力。注意：剛開始做題前一定要對所學知識已經透徹、深刻的掌握，否則題做得再多的也只會事倍功半，起不到我們想要的效果。

中國數學奧林匹克冬令營簡介

全國中學生數學冬令營是在全國高中數學聯賽的基礎上進行的一次較高層次的數學競賽。1985年，由北京大學、南開大學、復旦大學和中國科技大學四所大學倡議，中國數學會決定，自1986年起每年一月份舉行全國中學生數學冬令營。

冬令營為期5天，第一天為開幕式，第二、第三天考試，第四天學術報告或參觀遊覽，第五天閉幕式，宣佈考試成績和頒獎。CMO考試完全模擬IMO進行，每天3道題，限四個半小時完成。每題21分（為IMO試題的3倍），6個題滿分為126分。各省、市、自治區派出選手參賽，還有香港、澳門和俄羅斯代表隊。題目難度較國際數學奧林匹克為高，技術性極強。比賽設有一至三等獎。成績頂尖學生將進入中國國家集訓隊，預備同年7月的國際數學奧林匹克。

從1990年開始，冬令營設立了陳省身杯團體賽。從1991年起，全國中學生數學冬令營被正式命名為中國數學奧林匹克（Chinese Mathematical Olympiad，簡稱CMO）。它成為中國中學生最高級別、最具規模、最有影響的數學競賽。

數學競賽是發現人才的有效手段之一。一些重大數學競賽的優勝者，大多在他們後來的事業中卓有建樹。因此，世界發達國家都十分重視數學競賽活動。十餘年來，中國中學數學競賽活動蓬勃發展，其影響越來越大，特別是中國中學生在影響最大、水平最高的國際數學奧林匹克競賽中，多次榮登榜首，成績令世人矚目，充分顯示了中華民族的聰明才智和數學才能。

瞭解國際賽史，熟悉國內賽況，認識數賽意義是必要的，也是有益的。

在世界上，以數為內容的競賽有着悠久的歷史：古希臘時就有解幾何難題的比賽；中國戰國時期齊威王與大將田忌的賽馬，實是一種對策論思想的比賽；到了16、17世紀，不少數學家喜歡提出一些問題向其他數學家挑戰，有時還舉行一些公開的比賽，方程的幾次公開比賽，賽題中就有最著名的費爾瑪大定理：在整數n≥3時關於x, y, z的不定方程 x^n + y^n = z^n. 無正整數解。

近代的數學競賽，仍然是解題的競賽，但主要在學生（尤其是高中生）之間進行。目的是為了發現與培育人才。

現代意義上的數學競賽是從匈牙利開始的。1894年，為紀念數理學會主席埃沃斯榮任教育大臣，數理學會通過一項決議：舉行以埃沃斯命名的，由高中學生參加的數學競賽，每年十月舉行，每次出三題，限4小時完成，允許使用任何參考書，試題以奧妙而奇特的形式見長，一般都有富創造特點的簡明解答。在埃沃斯的領導下，這一數學競賽對匈牙利的數學發展起了很大的作用，許多卓有成就的數學家、科學家是歷屆埃沃斯競賽的優勝者，如1897年弗葉爾、1898年馮卡門等。

受到匈牙利的影響，數學競賽在東歐各國蓬勃開展：1902年羅馬尼亞，1934年前蘇聯，1949年保加利亞，1950年波蘭，1951年前捷克斯洛伐克，……相繼進行了數學競賽。

把中學生的數學競賽命名為“數學奧林匹克”的是前蘇聯，採用這一名稱的原因是數學競賽與體育競賽有着許多相似之處，兩者都崇尚奧林匹克精神。競賽的成果使人們意外地發現，數學競賽的強國往往也是體育競賽的強國，這給了人們一定的啓示。

1934年在列寧格勒，1935年在莫斯科，有關的國立大學分別組織了地區性的數學競賽，並稱之為“中學數學奧林匹克”。當時，莫斯科的著名數學家都參加了這一工作。前蘇聯的數學奧林匹克分為五級：學校奧林匹克，縣奧林匹克，地區奧林匹克，共和國奧林匹克，全國奧林匹克，再選出參加國際數學奧林匹克的六名代表。

對國際間組織數學競賽最熱心的是羅馬尼亞的教授羅曼。經過他的積級策劃，1959年7月，第一屆國際數學奧林匹克（簡稱IMO）在羅馬尼亞古都布拉索舉行，拉開了國際數學競賽的帷幕。當時參加競賽的學生共52名，分別來自東歐的羅馬尼亞、保加利亞、匈牙利、波蘭、前捷克斯洛伐克、前德意志民主共和國和前蘇聯等7個國家。每個國家有8名隊員，前蘇聯只派了4名隊員。以後（除1980年由於東道主蒙古經費困難而暫停）每年舉行一次，到1990年在中國舉辦第31屆時，已發展到54個國家和地區的308名選手。到1995年在加拿大舉辦第36屆時，雙增加到73個國家和地區，400多名選手。

1．一年一度的IMO的東道國由參賽國（或地區）輪流擔任，所需經費由東道國負擔，整個活動由東道國出任主席，由各國領隊組成的主試委員會主持，試題和解答由參賽國提供，每國3—5題（也可不提供），東道國不提供試題，而由東道國組成選題委員會，對各國提供的試題進行評議與初選，主要考慮試題是否與以往的試題重複，並把試題按代數、數論、幾何、組合數學、組合幾何等分類，確定試題難度（A、B、C三級），選擇30題左右。如果這些題有新解法的話，還要求提供原解法以外的解答，譯成英文供主試委員選用。

2．每個參賽團組織一個參賽隊，成員不超過8人，其中隊員不超過6人（是中學或同等級學校學生），正、副領隊各1人，考試分兩天兩試，每試3題，每試4.5小時，每題7分，所以每個選手的最高得分是42分。

3．IMO的官方用語為英、法、德、俄語，而參賽國大約需要26種文字，屆時由各領隊把試卷譯成該國語言，並經協調委員會認可。度卷先由各國的正、副領隊評判，再與協調委員會協商（每個協調員負責一個試題的評分），如有分歧，由主試委員會仲裁，協商工作是在信任與友好的氣氛中進行的。

4．IMO的獲獎人數約佔參賽人數的一半，評獎根據分數段評出一、二、三等獎獲得者，其比例平均為1:2:3。此外，主試委員會還可因在某個試題上作出了非常漂亮（指思路簡捷巧妙，有獨創性）或在數學上有意義的解答的學生給予特別獎。

為避免再次出現1980年那樣的中斷，IMO設立一個專門的委員會（有的譯為場所委員會）負責確定各屆的東道主。

按IMO的規定，每一屆的東道主必須向上一屆的所有參賽國發出邀請，而新參加的國家則應當向東道主表明參加的意願，再由東道主發出邀請。

東歐外的國家中，第一個加入的是芬蘭（1965年第7屆），接着法國、英國、意大利、瑞典、荷蘭等也都在60年代陸續加入。1974年，美國、越南加入。此後，參加國逐年增加，並遍佈歐、美、亞、非及大洋洲，IMO才成為名副其實的全球性的數學大賽。

1988年第29屆，根據香港的建議，IMO首次設立了榮譽獎，獎給那些雖然未得金、銀、銅牌，但至少有一道題得滿分的選手。這一措施，大大調動了各參賽國及其參賽選手的積極性。

IMO的精神就是奧林匹克精神：“重要的不在於取勝，而在於參加。”據此，自1983年第24屆以來，雖然每一個代表隊（6個人為組員）都計算自己的總分，且知道按總分的順序排在多少名，但組織委員會不向團體優勝者頒獎，因為IMO只是個人的競賽，不是團體的競賽。

1981年第22屆，美國是IMO的東道主。美國數學奧林匹克委員會主席格雷策發信邀請中國參加，中國數學會覆信同意參加，後因故未能成行，只派了當時在美的訪問學者作為觀察員參加了。

到了1984年，在寧波召開的中國數學會首次普及工作會議上，確定1985年派兩名選手參加第26屆IMO，以瞭解情況、取得經驗。由於選拔時間倉促，只指派了北京、上海各1名優秀學生參加。結果有1人得三等獎，兩人平均成績與以色列第17位，兩人總分則排在32位。1986年起，中國均派6名選手參賽。中國選手的輝煌成績，極大地激發了千百萬中學生學習科學文化知識的熱情，也極大地增強了中國人的民族自豪感。

中國的數學競賽起步不算晚。解放後，在華羅庚教授等老一輩數學家的倡導下，從1956年起，開始舉辦中學數學競賽，在北京、上海、福建、天津、南京、武漢、成都等省、市都恢復了中學數學競賽，並舉辦了由京、津、滬、粵、川、遼、皖合辦的高中數學聯賽；1979年，中國大陸上的29個省、市、自治區全部舉辦了中學數學競賽。此後，全國各地開展數學競賽的熱情有了空前的高漲。1980年，在大連召開的第一屆全國數學普及工作會議上，確定將數學競賽作為中國數學會及各省、市、自治區數學會的一項經常性工作，每年10月中旬的第一個星期日舉行“全國高中數學聯合競賽”。同時，中國數學界也在積極準備派出選手參加國際數學奧林匹克的角逐。1985年，開始舉辦全國初中數學聯賽；1986年，開始舉辦“華羅庚金盃”少年數學邀請賽；1991年，開始舉辦全國小學數學聯賽。

2012年，中國的高中數學競賽分三級：每年10月中旬的全國聯賽；次年一月的CMO（冬令營）；次年三月開始的國家集訓隊的訓練與選拔。

對中國中學影響較大的還有美國中學生數學競賽。該賽也分三輪進行：美國中學數學競賽（AHSME），考試形式是30道選擇題，要求90分鐘內完成；美國數學邀請賽（AIMS），考15道空題，答案均為不超過999的正整數，要求3個小時內完成；美國數學奧林匹克（USAMO），這是美國國內水平最高的數學賽活動，每次考5道題，3.5小時內完成。

為使中國的數學競賽活動能廣泛而有序、深入而持久地開做好各級各類數學競賽的培訓選拔工作，國內採取了一系列有效措施。首先是創造數學競賽的良好場景；中小學組織各年的教學興趣小組活動，做到定時間、定地點、定輔導教師、定輔內容；對一些數學“苗子”開辦數學奧林匹克業餘學校，有計劃給以強化性的輔導與培訓。其次是增強數學競賽的輔導力量；各級數學奧林匹克教練員隊伍，不斷提高這支隊伍的輔導與教練素質。再次是優化數學競賽的輔導體系；編寫與出版基礎性的數學競賽培訓教材或輔導讀物，收集與整理國內外數學競賽資料，研究與提煉數學競賽題的解題思想方法及技能技巧，健全與完善數學競賽的選拔機制及輔導方式。

“全國小學數學奧林匹克”（創辦於1991年），它是一個“普及型、大眾化”的活動，分為初賽（每年3月）、夏令營（每年暑期）。

“全國初中數學聯賽”（創辦於1984年），採用“輪流做東”的形式由各省、市、自治區數學競賽組織機構具體承辦，每年4月舉行，分為一試和二試。

“全國高中數學聯賽”（創辦於1981年），承辦方式與初中聯賽相同，每年10月舉行，分為一試和二試，在這項競賽中取得優異成績的全國約90名學生有資格參加由中國數學會主辦的“中國數學奧林匹克（CMO）暨全國中學生數學冬令營”（每年元月）。

在“普及的基礎上不斷提高”的方針指引下，全國數學競賽活動方興未艾，特別是連續幾年中國選手在國際數學奧林匹克中取得了可喜的成績，使廣大中小學師生和數學工作者為之振奮，熱忱不斷高漲，數學競賽活動進入一個新的階段，為了使全國數學競賽活動持久、健康、逐步深入地開展，應廣大中學師生和各級數學奧林匹克教練員的要求，特制定《數學競賽大綱》以適應當前形勢的需要。

本大綱是在國家教委制定的“全日制中學數學教學大綱”的精神和基礎上制定的。《教學大綱》在教學目的一欄中指出；“要培養學生對數學的興趣，激勵學生為實現四個現代化學好數學的積極性”。具體作法是：“對學有餘力的學生，要通過課外活動或開設選修課等多種方式，充分發展他們的數學才能”，“要重視能力的培養……，着重培養學生的運算能力、邏輯思維能力和空間想象能力，要使學生逐步學會分析、綜合、歸納、演繹、概括、抽象、類比等重要的思想方法。同時，要重視培養學生的獨立思考和自學的能力”。

《教學大綱》中所列出的內容，是教學的要求，也是競賽的最低要求。在競賽中對同樣的知識內容的理解程度與靈活運用能力，特別是方法與技巧掌握的熟練程度，有更高的要求。而“課堂教學。為主，課外活動為輔”是必須遵循的原則。因此，本大綱所列的課外講授的內容必須充分考慮學生的實際情況，分階段、分層次讓學生逐步地去掌握，並且要貫徹“少而精”的原則，這樣才能加強基礎，不斷提高。

全國高中數學聯賽的一試競賽大綱，完全按照全日制中學《數學教學大綱》中所規定的教學要求和內容，即高考所規定的知識範圍和方法，在方法的要求上略有提高，其中概率和微積分初步不考。

1．平面幾何

基本要求：掌握初中競賽大綱所確定的所有內容。

補充要求：面積和麪積方法。

幾個重要定理：梅涅勞斯定理、塞瓦定理、托勒密定理、西姆松定理。

幾個重要的極值：到三角形三頂點距離之和最小的點——費馬點。到三角形三頂點距離的平方和最小的點——重心。三角形內到三邊距離之積最大的點——重心。

幾何不等式。

簡單的等周問題。瞭解下述定理：

在周長一定的n邊形的集合中，正n邊形的面積最大。

在周長一定的簡單閉曲線的集合中，圓的面積最大。

在面積一定的n邊形的集合中，正n邊形的周長最小。

在面積一定的簡單閉曲線的集合中，圓的周長最小。

幾何中的運動：反射、平移、旋轉。

複數方法、向量方法*。

平面凸集、凸包及應用。

2．代數

在一試大綱的基礎上另外要求的內容：

週期函數與週期，帶絕對值的函數的圖像。

三倍角公式，三角形的一些簡單的恆等式，三角不等式。

第二數學歸納法。

遞歸，一階、二階遞歸，特徵方程法。

函數迭代，求n次迭代*，簡單的函數方程*。

n個變元的平均不等式，柯西不等式，排序不等式及應用。

複數的指數形式，歐拉公式，棣美弗定理，單位根，單位根的應用。

圓排列，有重複的排列與組合。簡單的組合恆等式。

一元n次方程（多項式）根的個數，根與係數的關係，實係數方程虛根成對定理。

簡單的初等數論問題，除初中大綱中斯包括的內容外，還應包括無窮遞降法，同餘，歐幾里得除法，非負最小完全剩餘類，高斯函數[x]，費馬小定理，歐拉函數*，孫子定理*，格點及其質。

3．立體幾何

多面角，多面角的性質。三面角、直三面角的基本性質。

正多面體，歐拉定理。

體積證法。

截面，會作截面、表面展開圖。

4．平面解析幾何

直線的法線式，直線的極座標方程，直線束及其應用。

二元一次不等式表示的區域。

三角形的面積公式。

圓錐曲線的切線和法線。

因的冪和根軸。

5．其

抽屜原理。

容斥原理。

極端原理。

集合的劃分。

覆蓋。

注：全國高中數學聯賽的二試命題的基本原則是向國際數學奧林匹克*攏，總的精神是比高中數學大綱的要求略有提高，在知識方面略有擴展，適當增加一些課堂上沒有的內容作為課外活動或奧校的講授內容。

對教師和教練員的要求是逐步地掌握以上所列內容，並根據學生的具體情況適當地講授。

有*號的內容二試中暫不考，但在冬令營中可能考。

從1981年中國數學會普及工作委員會舉辦全國高中數學聯賽以來，在“普及的基礎上不斷提高”的方針指導下，全國數學競賽活動方興未艾，每年一次的數學競賽吸引了上百萬學生參加。1985年中國步入國際數學奧林匹克殿堂，加強了數學課外教育的國際交流，20年來中國已躋身於IMO強國之列。數學競賽活動對於開發學生智力、開拓視野、促進教學改革、提高教學水平、發現和培養數學人才都有着積極的作用。這項活動也激勵着廣大青少年學習數學的興趣，吸引他們去進行積極的探索，不斷培養和提高他們的創造性思維能力。數學競賽的教育功能顯示出這項活動已成為中學數學教育的一個重要組成部分。

為了使全國數學競賽活動持久、健康、逐步深入地開展，中國數學會普及工作委員會於1994年制定了《高中數學競賽大綱》，這份大綱的制定對高中數學競賽活動的開展起到了很好的指導性作用，中國高中數學競賽活動日趨規範化和正規化。

2000，新的教學大綱的實施在一定程度上改變了中國中學數學課程的體系、內容和要求。同時，隨着國內外數學競賽活動的發展，對競賽活動所涉及的知識、思想和方法等方面也有了一些新的要求，原來的《高中數學競賽大綱》已經不能適應新形勢的發展和要求。經過廣泛徵求意見和多次討論， 對《高中數學競賽大綱》進行了修訂。

本大綱是在《全日制普通高級中學數學教學大綱》的精神和基礎上制定的。《全日制普通高級中學數學教學大綱》指出：“要促進每一個學生的發展，既要為所有的學生打好共同基礎，也要注意發展學生的個性和特長；……在課內外教學中宜從學生的實際出發，兼顧學習有困難和學有餘力的學生，通過多種途徑和方法，滿足他們的學習需求，發展他們的數學才能。”

學生的數學學習活動應當是一個生動活潑、富有個性的過程，不應只限於接受、記憶、模仿和練習，還應倡導閲讀自學、自主探索、動手實踐、合作交流等學習數學的方式，這些方式有助於發揮學生學習的主動性。教師要根據學生的不同基礎、不同水平、不同興趣和發展方向給予具體的指導。教師應引導學生主動地從事數學活動，從而使學生形成自己對數學知識的理解和有效的學習策略。教師應激發學生的學習積極性，向學生提供充分從事數學活動的機會，幫助他們在自主探索和合作交流的過程中真正理解和掌握基本的數學知識與技能、數學的思想和方法，獲得廣泛的數學活動經驗。對於學有餘力並對數學有濃厚興趣的學生，教師要為他們設置一些選學內容，提供足夠的材料，指導他們閲讀，發展他們的數學才能。

教育部2000年《全日制普通高級中學數學教學大綱》中所列出的內容，是教學的要求，也是競賽的最低要求。在競賽中對同樣的知識內容，在理解程度、靈活運用能力以及方法與技巧掌握的熟練程度等方面有更高的要求。“課堂教學為主，課外活動為輔”是必須遵循的原則。因此，本大綱所列的課外講授內容必須充分考慮學生的實際情況，使不同程度的學生在數學上得到相應的發展，並且要貫徹“少而精”的原則。

全國高中數學聯賽（一試）所涉及的知識範圍不超出教育部2000年《全日制普通高級中學數學教學大綱》。

全國高中數學聯賽（加試）在知識方面有所擴展，適當增加一些教學大綱之外的內容，所增加內容是：

1．平面幾何

幾個重要定理：梅涅勞斯定理、塞瓦定理、托勒密定理、西姆松定理

三角形旁心、費馬點、歐拉線

幾何極值問題

幾何中的變換：對稱、平移、旋轉

圓的冪和根軸：

面積方法，複數方法，向量方法，解析幾何方法。

2．代數

週期函數，帶絕對值的函數

三角公式，三角恆等式，三角方程，三角不等式，反三角函數

遞歸，遞歸數列及其性質，一階、二階線性常係數遞歸數列的通項公式

第二數學歸納法；

平均值不等式，柯西不等式，排序不等式，切比雪夫不等式，一元凸函數及其應用

複數及其指數形式、三角形式，歐拉公式，棣莫弗定理，單位根

多項式的除法定理、因式分解定理，多項式的相等，整係數多項式的有理根*，多項式的插值公式*

n次多項式根的個數，根與係數的關係，實係數多項式虛根成對定理

函數迭代，求n次迭代*，簡單的函數方程*。

3．初等數論

同餘，歐幾里得除法，裴蜀定理，完全剩餘系，不定方程和方程組，高斯函數[x]，費馬小定理，格點及其性質，無窮遞降法*，歐拉定理*，孫子定理*。

4．組合問題

圓排列，有重複元素的排列與組合，組合恆等式

組合計數，組合幾何

抽屜原理

容斥原理

極端原理

圖論問題

集合的劃分

覆蓋

平面凸集、凸包及應用*。

(有*號的內容加試中暫不考，但在冬令營中可能考）。

隨着數學競賽的發展，已逐漸形成一門特殊的數學學科——競賽數學。它涉及到數學競賽的內容、思想和方法；也涉及到數學競賽教育和數學課外教育的本質、方法、規律和途徑問題，課外學習與課內學習的關係問題，普及與提高問題，數學尖子生的發現和培養問題，輔導教師的進修和提高問題，命題和解題研究的問題等等。 圍繞着數學競賽而展開的各種活動已經搭起了一個數學教育新分支的框架，其特點是以開發智力為根本目的、以解決問題為基本形式、以競賽數學為主要內容。最本質的是對中學生進行“競賽數學”的教育。這種教育的性質是：較高層次的基礎教育、開發智力的素質教育、生動活潑的業餘教育、現代數學的普及教育。以IMO的200道試題為主體，包括候選題和各國高水平的競賽內容，已經積澱出一個數學新層面，成為競賽數學（或奧林匹克數學）。這是帶有教育目的的數學，這是在競賽教育中形成的教育數學。

四大支柱是：代數，幾何，初等數論，組合初步（俗稱代數題、幾何題、算術題和智力題）。

總結競賽數學的內容與方法，可以概括它的四個基本特徵：位於中間數學，鄰接研究數學，展示藝術數學，構成教育數學。

位於中間數學。

這種中間性也是綜合性、交叉性和橋樑性，表現在三個方面：

（1） 中學數學與大學數學之間

（2） 學校數學與研究數學之間

（3） 嚴肅數學與趣味數學之間

二． 鄰接研究數學

（1） 內容的新穎性

（2） 方法的創造性

數學競賽題代表了活的數學。解競賽題雖離不開一般的思維規律，離不開數學知識，也有一些使用頻率較大的方法和技巧，但大都沒有常規模式可套，也無萬能範本可循。且賽題內容不斷更新，重要的是整體全局上的洞察力、敏鋭的直覺和獨創性的構思。

三． 展示藝術數學

競賽數學把現代化的內容與趣味性的陳述、獨創性的技巧結合起來，充分展示了數學的統一美、對稱美和奇異美。有的問題所涉及的知識不多，一個證明的過程幾乎全是藝術的構造或構造的藝術。

（1） 構題的趣味性

（2） 解法的技巧性

四． 構成教育數學

由於競賽數學本能地展示了數學思想，生動地普及了數學文化，因而具有一定的教育價值，表現為選拔功能，激勵功能和導向功能。如：

1. 發現人才、選拔人才和培養人才

2. 激勵青少年學習數學的興趣

3. 為中學數學教材改革進行過度

4. 強化能力培養的教學導向

5. 促進中學數學教師的知識更新

6. 為“第二課堂”增添活數學的內容

7. 為初等數學研究開拓新的領域

8. 為數學方法論的研究注入新鮮活力

綜上所述，競賽數學是一種教育數學，它具有教育的功能，並表現出中間性和藝術性。

2021年，株洲市第十三中學高三年級1912班祝紫怡喜獲化學奧賽全國三等獎。 ^[1]