塞瓦定理

∵△ADC被直線BOE所截，

①

∵△ABD被直線COF所截，

②

②/①約分得：

③

同理

④ ，

⑤

③×④×⑤得

①證明三角形三條高線必交於一點:

設△ABC三邊的高分別為AE、BF、CD，垂足分別為D、E、F，根據塞瓦定理逆定理，因為

，所以三條高CD、AE、BF交於一點。

或者用塞瓦定理的角元形式

證明，證明如下:

由"同角的餘角相等"可得，

,

所以三條高CD、AE、BF交於一點。

^[1] 

如圖1：已知，D、E分別為△ABC的邊BC、AC 的中點，連接AD、BE相交於點O，連接CO並延長交AB於F

由塞瓦定理得

∴CF為AB邊上的中線

∴三角形三條中線交於一點（重心）

③用塞瓦定理證明三條角平分線交於一點

如圖1，

此外，可用定比分點來定義塞瓦定理：

在△ABC的三邊BC、CA、AB或其延長線上分別取L、M、N三點，又分比是

。於是AL、BM、CN三線交於一點的充要條件是

。 ^[2]  （注意與梅涅勞斯定理相區分，那裏是

）

1.塞瓦定理角元形式

AD,BE,CF交於一點的充分必要條件是：

(簡記為不相鄰三條線段所對角的正弦值之積等於另外三條線段)

由正弦定理及三角形面積公式易證。 ^[3] 

2.如圖2，對於圓周上順次6點A，B，C，D，E，F，直線AD，BE，CF交於一點的充分必要條件是：

由塞瓦定理的角元形式，正弦定理及圓弦長與所對圓周角關係易證

使用塞瓦定理可以進行直線形中線段長度比例的計算，其逆定理還可以用來進行三點共線、三線共點等問題的判定方法，是平面幾何學以及射影幾何學中的一項基本定理，具有重要的作用。塞瓦定理的對偶定理是梅涅勞斯定理。

塞瓦定理的優點多多，但是卻不是特別好記，這裏有一個方法。

相當於

可以發現,左右兩端字母一樣

可以作如下表述，在記憶

時，可理解為在符合在三邊線段的前提下，分母分子字母一樣，且分母、分子內部有相同字母.。

另外一種記憶方式是，將圖2中的ABC作為頂點，圖2中的DEF作為分點，則

可以看做是：頂點到分點（BD），該分點到另一頂點（DC），頂點再到分點（CE），分點再到頂點（EA），頂點再到分點（AF），分點再到頂點（FB）。