三角形面积公式

数学公式
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计算三角形面积的公式称为三角形面积公式。
同一平面内不共线的三点以及每两点连接的线段所组成的封闭图形(包括其内部)叫做三角形。 [1]
三角形可以有不同的分类。按角分有直角三角形(三个角中有一个角是直角),钝角三角形(三个角中有一个角是钝角),锐角三角形(三个角全是锐角);按边分有等腰三角形(至少有两条边长是相等的),等边三角形(三条边全部相等)。锐角三角形和钝角三角形统称为斜三角形。不同的三角形可以有不同的特殊形式的面积计算公式。
正文给出多种不同的三角形面积计算公式。这些公式其实都是原始面积公式 S=1/2ah的变体与不同应用。比如说,海伦公式是三角形面积公式原始形式的暴力解(直接将高用边长表示出来),正弦值定义则是给出了高的长度的另一种表达式。本质上而言,这些面积公式都是来自于三角形面积公式的原始形式。这些公式适用在不同场景的面积计算中。
需要注意的是,除三斜求积术和海伦公式外,正文提及的三角形面积公式名称与三角形面积求解方法的名称都不是正式的名称,因为它们本质上并不能算是另外的三角形面积的求解方法,都是原始公式形式S=1/2ah的变体。
中文名
三角形面积公式
外文名
Formula for area of triangle
学    科
初等数学,平面几何
类    别
公式

相关概念

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三角形

平面上不共线的三点以及每两点连接的线段组成的封闭图形(包括其内部)叫做三角形,符号为
,或者,也可以将不在同一条直线上的三条线段首尾依次相连形成的图形称为三角形,这两条定义等价。 [1]
三角形有三个顶点,三条边,每条边都对应一条高,每个顶点处都有一条角平分线,每条边上都有一条中线(顶点与对边中点的连线)和高(顶点关于对边的垂线)。三角形的三条高,三条中线,三条角平分线,三条边的垂直平分线分别交于同一个点,称为垂心重心内心外心。具体的可以在相关条目中查看。
如下图,在三角形
中,把
三点称为三角形的顶点,把
三条线段称为三角形的边,把过
点的与边
所在直线的垂直的以点
和垂足
为端点的线段
在边
上的高。
三角形以及它的高
三角形可以使用不同的方法进行分类。按角分有直角三角形(三个角中有一个角是直角),钝角三角形(三个角中有一个角是钝角),锐角三角形(三个角全是锐角);按边分有等腰三角形(至少有两条边长是相等的),等边三角形(三条边全部相等)。锐角三角形和钝角三角形统称为斜三角形。不同的三角形可以有不同的特殊形式的面积计算公式。

面积

"面积"是一个度量概念,用来衡量平面或曲面中"物体"的大小或者是三维空间中物体的表面的"大小"。一般而言规定边长为1单位长度的正方形的面积是1。
严格地说,面积是图形在两个不同方向上同时延展的可能性及程度在人脑中的反映而形成的概念。衡量物体表面或平面图形的大小的概念称为面积。平面图形的大小,是从这个平面图形占有的空间的范围大小的比较中产生的,因此表示平面图形大小的数量也是在比较中产生的。常选定一个正方形作为与平面图形比较的标准,并规定该正方形的面积为1,称为单位正方形。一个平面图形与单位正方形相比较之后所得的量数就是该平面图形的面积。

符号说明

如下图,
图1 符号说明辅助图
在下面的所有说明和证明中的记号和标记与此处的说明保持一致。
图中的大三角形的顶点附近有标记
,将这三个点称为点
,点
,和点
。那么
就表示以符号中的标记对应的两个点为顶点的线段,在这张图中就分别对应三角形的三条边。
那么,这个三角形就可以用它的顶点来表示,把这个三角形记为
,与顶点的记号相对应的小写字母(
,
,
)表示该顶点的对边,也可表示这条边的长度(如,
可以表示边
也可在计算中表示
的长度;
可以表示边
,也可在计算中表示
的长度;
可以表示边
,也可在计算中表示
的长度。)
一般用来表示三角形的高,在这张图中这条高为线段
,它是三角形的顶点
对应的高,位于边
上。点
既是高
的端点又是它和边
的交点,也是它和
边的垂足。注意,
表示的不是
的对边的边长,因为
不是三角形顶点的标记。
如果在同一张图中出现不同的三角形,可以通过给标记加下标
等方式标记不同三角形的高和它们的垂足来区分。
此外,表示角或者角的大小时,一般用符号
表示,其中是角的顶点,
是角的两条边。在不会引起歧义的时候,可以把
省略,用
表示以
为顶点的角的大小.比如在这张图中,可以用
来表示以
为边,
为顶点的角的大小。类似的,
表示以
为边,
为顶点的角的大小。但是用
在这张图中一般是不允许的,因为以
为顶点的角有三个
,这会产生歧义。
不过,在下面的证明和说明中,约定,
表示
表示
表示
表示边
表示边
表示边

简史

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三角形面积公式最初产生于土地的测量,早在古埃及《莱茵德纸草》中就有三角形面积为腰长与底边乘积的一半这一算法 [2]。公元1世纪,古希腊数学家海伦(Heron)在其所著的《度量论》一书中给出了一个用三角形三边表达三角形面积的公式,即海伦公式 [3]。中国古代数学家刘徽(公元225年~295年),在其著作《重差》一卷中采用出入相补原理将三角形的高等分,以盈补虚拼成一个长方形,其面积为
,正好是原三角形面积 [4]。公元8世纪,阿拉伯数学家阿里·花剌子米(al-Khowarizmi)在其所著《代数学》一书中也给出了类似海伦公式的公式,但形式不一。1247年前后,中国宋代数学家秦九在其所著《数书九章》中,也给出了一个用三边表达三角形面积的公式“三斜求积式”,该公式与海伦公式等价 [3]。但秦九韶并没有在《数书九章》中给出这一公式的证明,清代初期数学家梅文鼎在《平三角举要》中利用中国传统命题(已知股弦和、勾,求股、弦)补证了秦九韶这一公式。 [2]
1637年,法国数学家笛卡尔(Descarles)出版了《更好地指导推理和寻求科学真理的方法论》一书,《几何学》为此书的三个附录之一,《几何学》 [5]的出版被认为是解析几何的起点.在《几何学》中,笛卡尔把几何问题转化为代数形式的问题,随着数学的进一步发展,行列式、矩阵的概念被引入,在平面直角坐标系中,已知三角形的三个顶点坐标,也可以求得三角形的面积。

一般情况下不同形式的三角形面积公式及推导

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一般形式

下图中
表示三角形的底边的长,表示三角形的底边上的高的长度(图中红色虚线的长度)。
三角形的面积
等于底边长
乘以该边上的高
再乘
接下来会借助矩形的面积公式(长乘宽)来对这个公式进行说明。
如图2,将图中的大矩形
沿着三角形
的高
分割后得到两个小矩形
,同时也将三角形
分割成两个小三角形
分割出的两个小三角形
分别由两个小的矩形的长,宽与一条对角线构成它的三条边,此时两个小矩形
的面积分别是两个小三角形
的两倍。
事实上,每个矩形能够分割成两个这样的三角形,但是这样的两个三角形的三条边长度分别相等——它们共用一条对角线,而长边和长边长度相等,宽边和宽边的长度相等。由此可知,这两个三角形的形状是“完全相同”的,因此它们的面积也是相等的。
当然,也可以有一种更简单的方法来验证这一点——找一张矩形白纸,沿着对角线裁成两个三角形。那么,如果不考虑裁纸操作本身造成的误差,裁出的这两个三角形纸片理论上一定是能够完全重叠的,因此,它们的面积是相等的。
而两个这样的面积相等的三角形的面积之和和矩形的面积相等,由此可得知三角形面积为矩形的一半。矩形面积为
, 故三角形面积为
这个公式直接由面积本身的定义得来,是计算与表示三角形面积的基础。
图2

海伦公式(三斜求积术)

海伦是公元1世纪古希腊的数学家,在他的《测地术》一书中,提出了这个已知三角形的三边求面积的公式。这个公式,人们归功于他,但实际上是阿基米德最早得出了这个公式。 [6-7]
内容如下:已知三角形的三边长为
,令
,则三角形面积为 [8]
1247年,中国南宋数学家秦九韶在《数学九章》中提出了三斜求积术: [6]"以小斜幂,并大斜幂,减中斜幂,余半之,自乘于上;以小斜幂乘大斜幂,减上,余四约之,为实,一为从隅,开平方得积。" [7]
把海伦公式的形式稍微变换一下,就得到三斜求积术的表达式:
由上述表达式中
的对称性与相同地位,可以得到:
由于两个公式是一致的,所以仅给出"三斜求积术"的一个简单证明。对海伦公式的详细证明参见参考文献。 [9]
图3
证明:
三角形
三边长度如图3所示。
则假设
段长度为
,则由勾股定理,可得
解得
边上的高
则三角形面积为
公式得证。
从上述推导可以看出,海伦公式其实是三角形的原始面积公式的变体,只不过
将高
利用三角形的三边长表示出来了而已。

正弦值定义法

如图4,
的值为
。图中所有符号都和前面的符号说明最后的约定保持一致。则由正弦函数定义(直角三角形中对应锐角的斜边与对边的比值)可知在直角三角形
中,
,也就是说,
因此,
的面积为
。(底乘高除以2,以
为底,
为高。)
由此,再由正弦定理可以得到:若已知
记为
,记为
,边
的长度为
,则有
可以看到,这个三角形的面积公式只是将ℎ用了不同的形式去表示,本质上和原始形式是相同的。
图4

内切圆半径法

图5
如图 5所示,记三角形内切圆圆心为
,则画出点
和三条顶点的连线,那么将这个三角形分割成三个小三角形
,大三角形的面积就等于三个小三角形面积的和。这三个小三角形的面积是容易计算的——因为内切圆与三角形的三条边都是相切的,所以圆心到三角形三条边的垂线段的长度就是内切圆的半径 ,也就是小三角形的高。而三个小三角形的底边就是大三角形的三条边,因此就可以求出大三角形的面积的表达式为
这个公式事实上是三角形的面积公式的原始形式的应用,利用分割思想将三角形分为三个小三角形,这三个小三角形的底边就是原三角形的三边,高就是内切圆的半径,分别计算面积后再相加就是大三角形的面积。有时会用来求解特定的初等几何题目。

外接圆半径法

图6 外接圆半径法
如图6所示。此处的符号与前面在相关概念最后的约定的保持一致,但是
表示三角形的外心(即三角形外接圆的圆心,也就是与三角形的三个顶点的距离完全相同的点,线段
的长度相同,记为
)。
三角形的外心
与三角形的三个顶点之间的线段将三个角分成两个部分,但是由于
是等腰三角形,知道
,它们的大小分别记为
在这个证明中需要作两条辅助线:延长线段
到点
为这段延长线和三角形外接圆的交点。连接
两点,作线段
则由圆的内接三角形的性质,知道
。在直角三角形
中,有
经过简单的整理以及对其他角的类似操作,得到
因此三角形面积为
容易看出,这又是对三角形面积公式的原始形式的数学上的等价形式,利用三角形的边角关系给出的另一种表达。这些改写的意义在于,能够适应已知条件不同的三角形面积求解场景。

行列式形式(解析几何)

图7
的一个顶点
为原点,建立平面直角坐标系。
分别记
点的坐标为
则三角形面积可以表达为:
显然,若
不在原点,则将相关坐标替换为坐标差即可。即,假设
的坐标为
,则面积表达式变为
,它在数学上和下面的表达式是一致的:
此时,有
其中,在绝对值内不包含系数
的部分在数学上被称为行列式。这个公式在计算机中由于表达式简单且顶点坐标是最常用的表示形式而应用广泛。
除了用来计算三角形面积之外,行列式还有许多有趣的应用。详情请见相关词条。

海伦-秦九韶三角形中线面积公式

图8 中线面积公式
如图8,三个顶点
所对应的中线长分别为
,对边长分别为
,三条中线交于点
则由几何知识可以推得,三条中线将图中三角形分割成的 6 个小三角形面积相等。
故而三角形的中线被重心分成两段,由面积关系可以知道
延长线段
到点
,使得线段
。显然,
,这两个三角形关于
点中心对称。取
中点为
连接
交于
为三角形
的重心。
由全等关系,可知
而由此可知,
的面积是
与此同时,
的三条边长分别是
的三条中线长的
所以对
利用海伦公式求面积即可得到如下公式:
这个公式相对较为复杂,算是三角形面积的另外一种等价形式。这种三角形面积公式抛弃了原有的
的形式,将三角形的面积与中线长度联系了起来。可以通过海伦公式说明它和原三角形面积表达式是一致的。

特殊三角形的面积公式

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等边三角形

图9
如图9,由特殊点
处的三角函数值,易知
则三角形的面积为
这是由于等边三角形特有的边长关系,公式本身依旧是经典的原始形式。

等腰三角形

等腰三角形
对于等腰三角形,一般而言会直接运用一般形式的三角形面积公式来计算面积,不过等腰三角形底边上的高相对于一般的三角形有关系式
(运用勾股定理)。它的特殊性来源于它的对称性,尽管它的对称性弱于等边三角形。

直角三角形

直角三角形
如图11,在直角三角形
中,有
(因为直角三角形的两条直角边相互垂直,所以每条直角边上的高都与另一条直角边是重合的)。
所以利用勾股定理可以求得

等腰直角三角形

等腰直角三角形
如图所示,三角形面积
(因为直角边长为
的等腰直角三角形能够看作是边长为
的正方形沿着对角线分割出的一半)。
容易看出,等腰直角三角形斜边上的高线将该三角形分割成两个全等的小的等腰直角三角形。

人物介绍

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海伦

提起古希腊数学家海伦,人们立刻想到的是由三边求三角形面积的海伦公式。但根据10~11世纪的一位阿拉伯学者比鲁尼所述,这一公式是阿基米德(Archimedes,公元前287-前212)首先得出的,这一观点目前得到公认,但该公式确实是由海伦流传下来的。海伦是古希腊亚历山大后期(从公元前30年到公元600年)的著名数学家,他的生卒年代及生平事迹都没有留下记载。人们根据他的著作《测量仪器》中描述他对一次月食的观测所提出的数据,推算他在公元62年前后活跃在当时的古希腊学术中心——亚历山大。关于海伦公式的论述包含在他的著作《度量论》中,海伦公式带有根号,因此对许多三角形来说,虽然边长都是整数,但面积一般是无理数。在《度量论》一书中,海伦举出一个奇妙的例子——边长和面积都是整数,即
后来人们称边和面积都是整数的三角形为“海伦三角形(HeronischeDreiecke)”,这种三角形的三边为“海伦三数组(Heroniontriple)”。海伦留下了大量学术著作,除《度量论》外,还有《测量仪器》《气体力学》《自动舞台》《武器制造法》等。他在著作中大量引用前人的成果,如经常提到阿基米德、柏拉图(Plato)等,他大胆地使用某些经验性的近似公式,特别注重数学的实际应用,这在古希腊数学中是别具一格的。数学的应用使他发明了许多精巧的器械,如解决测量问题的“照准仪”,利用蒸汽使气球在喷出汽时发生旋转的“汽转球”等。 [10]

刘徽

刘徽是三国时代魏国人,籍贯山东临淄,生卒年代不详,中国古典数学理论的主要奠基人。刘徽的主要著作包括《九章算术注》《重差》(至唐代更名为《海岛算经》)一卷和《九章重差图》一卷。刘徽是世界上最早提出十进制小数概念和第一位引入极限概念的人,他对许多概念给出了定义,并在证明许多重要公式、原理时,注意逻辑推理和运用直观手段。其中,刘徽从圆规、矩尺度量的统一出发,引出面积、体积、率、正负数等概念,运用齐同原理、出入相补原理,无穷小分割方法等,以演绎逻辑为主要推理方法,以计算为中心,以率为纲纪,用“出入相补”原理证明了勾股定理以及一些求面积和求体积公式,在其著作《重差》一卷中刘徽采用“出入相补”原理将三角形的高等分,以盈补虚拼成一个长方形,证明了三角形面积为底乘高的一半。 [11]