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定比分點
鎖定
設座標軸上一有向線段的起點和終點的座標分別為x1和x2,分點M分此有向線段的比為λ,那麼,分點M的座標x=(x1+λx2)/(1+λ)。
- 中文名
- 定比分點
- 外文名
- Definiteproportion、definiteproportionanddivisionpoint
- 所屬學科
- 數學
- 相關概念
- 有向線段、比例等
定比分點基本介紹
定比分點定理1
證明: 分點M的座標為x,那麼由定理1 知
定比分點推論
定比分點例題解析
【例1】 已知有兩點P1(3,-2),P2(-9,4),線段P1P2與x軸的交點P分有向線段P1P2所成比為
,則有
是多少?並求P點橫座標。
解:設
,則有
得
【例2】 已知平行四邊形ABCD的三個頂點A(-1,-2),B(3,4),C(0,3),則頂點D的座標為多少?
解:設平行四邊形ABCD的對角線AC,BD的交點為E(x,y),即E為AC的中點,所以
又因為E為BD的中點,所以
解得
。
【例3】 在平面上有五個整點(座標為整數的點),證明其中至少有兩個點的連線的中點也是整點。
證明: 設A,B,C,D,E是五個整點,則每個點的座標的奇偶不外四種可能,就是(偶,偶)、(奇,奇)、(奇,偶)和(偶,奇)。我們取四個點A、B、C、D,它們的座標的“最壞”情形是(偶,偶)、(奇,奇)、(奇,偶)、(偶,奇)。因為這時四個點中任意兩個點的連線的中點都不是整點,第五個點E的座標只能是上面説的四種情形之一,但不論是哪種情形,容易驗證E與A、B、C、D中的某一點的連線的中點必是整點。
在n個點
處各放置質量為
的質點,求證:這n個質點組成的質點系的重心的座標為
證明:兩個質點組成的質點系的重心G在線段P1P2上,並且滿足條件
【例5】已知n個點
,在有向線段
上取一點G2,使G2分
的比為1:1;在有向線段
上取一點G3,使G3分
的比為1:2;在有向線段
上取一點G4,使G4分
的比為1:3;......;在有向線段
上取一點Gn,使Gn分
的比為1:n-1,求證:最後的分點Gn的座標為
特別地,以
為頂點的三角形的(幾何)重心的座標為
證明: 設例4中的n個質點的質量都相等,這時n個質點的力學重心即是n個點P1,P2,…,Pn的幾何重心Gn,所以Gn的座標為