有向線段

定義1 當一條線段的一個端點被指定為起點．而另一個端點被指定為終點，並且規定由起點到終點的方向叫作這條線段的方向時，那麼，這種線段叫作有向線段 ^[2]  ．

也可以簡單地説，規定了起點和終點的線段叫作有向線段．或者説，規定了方向的線段叫作有向線段．起點為A，終點為B的有向線段用符號

表示．

起點與終點重合的有向線段叫作零有向線段．零有向線段的方向可以任意指定．

定義2 如果兩條有向線段方向相同．並且長度相等，就説這兩條有向線段相等；規定零有向線段都是相等的 ^[2]  ．

必須注意，

與

是不相等的．因為它們的方向相反．

定義3 當一條直線的正向被指定了以後，那麼．這種直線叫作軸(有向直線) ^[2]  ．

若配置在軸上的有向線段的方向和軸的正向相同，那麼，這種位置的有向線段叫作軸上的正方向的有向線段；若有向線段的方向和軸的正向相反，那麼，這種位置的有向線段叫作軸上的負方向的有向線段．

定義4 軸上的正方向的有向線段的長度，負方向的有向線段的長度的相反數，叫作這條有向線段的數值(代數長)．規定零有向線段的數值為0 ^[2]  ．

有向線段

的數值用符號“值

”或“AB”表示，而長度(或叫作模)用符號“∣

∣”表示。

定理1 設A，B是軸上的任意兩點，則AB=﹣BA ^[2] 

即：AB+BA=0

定理2 (沙爾(Mishel Schasles)定理) 設A，B，C是軸上的任意三點，則以下的關係式總成立，即

AB+BC=AC ^[2] 

證明 分以下幾種情形證明．

(1)B在A，C之間，並且由A到B的方向和軸的正向相同(圖(a))．

由初等幾何知道：∣AB∣+∣BC∣=∣AC∣(∣ AB∣表示線段AB的長度)，

而

所以有:AB+BC=AC

(2)B在A，C之間，並且由A到B的方向和軸的正向相反(圖(b))．由(1)知道：CB+BA=CA，而由定理1知

所以有:AB+BC=AC

其餘各種情形的證明，可自己完成．

推論(沙爾定理的推廣) 設

,

,

,......,

,

(n≥3)是軸上的任意n個點．則關係式 ^[2] 

總成立．

起點、方向和長度，知道了有向線段的起點，它的終點就被方向和長度唯一確定 ^[1]  。

有向線段不等同於向量。二者的區別是：向量可用有向線段來表示，每一條有向線段對應着一個向量，但每一個向量對應着無數多條有向線段 ^[1]  。