全國高中數學聯賽

1981年，在大連召開的第一屆全國數學普及工作會議上，確定將數學競賽作為中國數學會及各省、市、自治區數學會的一項經常性工作，每年10月中旬的第一個星期日舉行“全國高中數學聯合競賽”。

競賽分為一試和二試，在這項競賽中取得優異成績的全國約400名學生有資格參加由中國數學會奧林匹克委員會主辦的“中國數學奧林匹克(CMO)暨全國中學生數學冬令營”(每年11月)。各省的參賽名額由4人到30人不等，視該省當年的聯賽考試成績而定，且對於承辦方省份有一定額外的優惠。

為了促進拔尖人才的儘快成長，教育部規定：在高中階段獲得全國數學聯賽省、市、自治區賽區一等獎者便獲得保送重點大學的資格，對於沒有保送者在高考中加分，加分情況根據各省市政策而定，有些省、市、自治區保留了競賽獲獎者高考加5分到20分不等，而部分省級行政區已經取消了競賽加分。對二、三等獎獲得者，各省、市、自治區又出台了不同的政策，其中包括自主招生資格等優惠錄取政策。為嚴格標準，中國數學會每年限定一等獎名額1000名左右，並劃分到各省、市、自治區。各省、市、自治區在上報一等獎候選人名單的同時，還要交上他們的試卷，最終由中國數學會對其試卷審核後確定獲獎名單。

在華羅庚、蘇步青等老一輩數學家的倡導下，從1956年起，開始舉辦中學數學競賽，在北京、上海、福建、天津、南京、武漢、成都等省市都開展了數學競賽，並舉辦了由京、津、滬、粵、川、遼、皖合辦的高中數學聯賽。

1979年，我國大陸上的29個省、市、自治區都舉辦了中學數學競賽。

1981年，在大連召開的第一屆全國數學普及工作會議上確定將數學競賽作為中國數學會及各省、市、自治區數學會的一項經常性工作，每年10月中旬的第一個星期日舉行“全國高中數學聯賽”。

全國高中數學聯賽旨在選拔在數學方面有突出特長的同學，讓他們進入全國知名高等學府，而且選拔成績比較優異的同學進入更高級別的競賽，直至國際數學奧林匹克（IMO）。並且通過競賽的方式，培養中學生對於數學的興趣，讓學生們愛好數學，學習數學，激發學生們的鑽研精神，獨立思考精神以及合作精神。

《高中數學競賽大綱（修訂稿）》

中國數學會普及工作委員會制定

在“普及的基礎上不斷提高”的方針指引下，全國數學競賽活動方興未艾，特別是連續幾年我國選手在國際數學奧林匹克中取得了可喜的成績，使廣大中小學師生和數學工作者為之振奮，熱忱不斷高漲，數學競賽活動進入了一個新的階段。為了使全國數學競賽活動持久、健康、逐步深入地開展，應廣大中學師生和各級數學奧林匹克教練員的要求，特制定《數學競賽大綱》以適應當前形勢的需要。

本大綱是在國家教委制定的全日制中學“數學教學大綱”的精神和基礎上制定的。《教學大綱》在教學目的一欄中指出：“要培養學生對數學的興趣，激勵學生為實現四個現代化學好數學的積極性。”具體作法是：“對學有餘力的學生，要通過課外活動或開設選修課等多種方式，充分發展他們的數學才能”，“要重視能力的培養……，着重培養學生的運算能力、邏輯思維能力和空間想象能力，要使學生逐步學會分析、綜合、歸納、演繹、概括、抽象、類比等重要的思想方法。同時，要重視培養學生的獨立思考和自學的能力”。

《教學大綱》中所列出的內容，是教學的要求，也是競賽的最低要求。在競賽中對同樣的知識內容的理解程度與靈活運用能力，特別是方法與技巧掌握的熟練程度，有更高的要求。而“課堂教學為主，課外活動為輔”是必須遵循的原則。因此，本大綱所列的課外講授內容必須充分考慮學生的實際情況，分階段、分層次讓學生逐步地去掌握，並且要貫徹“少而精”的原則，這樣才能加強基礎，不斷提高。

自2019年起，全國高中數學聯賽試題新規則如下：

聯賽分為一試、加試（即俗稱的“二試”）。各個省份自己組織的“初賽”、“初試”、“複賽”等等，都不是正式的全國聯賽名稱及程序。

一試和加試均在每年9月中旬的第一個週日舉行。

一試考試時間為8：00—9：20，共80分鐘，包括8道填空題（每題8分）和3道解答題（分別為16分、20分、20分），滿分120分。

二試考試時間為9：40—12：30，共170分鐘，包括4道解答題，涉及平面幾何、代數、數論、組合四個方面。前兩題每題40分，後兩題每題50分，滿分180分。 ^[1] 

依據考試結果評選出各省級賽區級一、二、三等獎。 其中一等獎由各省負責閲卷評分，然後將一等獎的考卷寄送到主辦方（當年的主辦方），由主辦方複評，最終由主管單位（中國科協）負責最終的評定並公佈。二、三等獎由各個省自己決定。

各省、市、自治區賽區一等獎排名靠前的同學可參加中國數學奧林匹克（CMO）。

全國高中數學聯賽的一試競賽大綱，完全按照全日制中學《數學教學大綱》中所規定的教學要求和內容，即高考所規定的知識範圍和方法，在方法的要求上略有提高，其中概率和微積分初步不考。

1、平面幾何

基本要求：掌握高中數學競賽大綱所確定的所有內容。

補充要求：面積和麪積方法。

幾個重要的極值：到三角形三頂點距離之和最小的點--費馬點。到三角形三頂點距離的平方和最小的點--重心。三角形內到三邊距離之積最大的點--重心。

幾何不等式。

簡單的等周問題。瞭解下述定理：

在周長一定的n邊形的集合中，正n邊形的面積最大。

在周長一定的簡單閉曲線的集合中，圓的面積最大。

在面積一定的n邊形的集合中，正n邊形的周長最小。

在面積一定的簡單閉曲線的集合中，圓的周長最小。

幾何中的運動：反射、平移、旋轉。

*複數方法、向量方法。

*平面凸集、凸包及應用。

2、代數

在一試大綱的基礎上另外要求的內容：

週期函數與週期，帶絕對值的函數的圖像。

三倍角公式，三角形的一些簡單的恆等式，三角不等式。

第二數學歸納法。

遞歸，一階、二階遞歸，特徵方程法。

函數迭代，求n次迭代，簡單的函數方程。

n個變元的平均不等式，柯西不等式，排序不等式及應用。

複數的指數形式，歐拉公式，棣莫佛定理，單位根，單位根的應用。

圓排列，有重複的排列與組合，簡單的組合恆等式。

一元n次方程（多項式）根的個數，根與係數的關係，實係數方程虛根成對定理。

簡單的初等數論問題，除初中大綱中所包括的內容外，還應包括無窮遞降法，同餘，歐幾里得除法，非負最小完全剩餘類，高斯函數，費馬小定理，歐拉函數，孫子定理，格點及其性質。

3、立體幾何

多面角，多面角的性質。三面角、直三面角的基本性質。

正多面體，歐拉定理。

體積證法。

截面，會作截面、表面展開圖。

4、平面解析幾何

直線的法線式，直線的極座標方程，直線束及其應用。

二元一次不等式表示的區域。

三角形的面積公式。

圓錐曲線的切線和法線。

圓的冪和根軸。

5、其它

抽屜原理。

容斥原理。

極端原理。

集合的劃分。

覆蓋。

西姆松線的存在性及性質(西姆松定理)。

賽瓦定理及其逆定理。

（修訂討論稿）

中國數學會普及工作委員會制定

（2006年8月）

從1981年中國數學會普及工作委員會舉辦全國高中數學聯賽以來，在“普及的基礎上不斷提高”的方針指導下，全國數學競賽活動方興未艾，每年一次的數學競賽吸引了上百萬學生參加。1985年我國步入國際數學奧林匹克殿堂，加強了數學課外教育的國際交流，20年來我國已躋身於IMO強國之列。數學競賽活動對於開發學生智力、開拓視野、促進教學改革、提高教學水平、發現和培養數學人才都有着積極的作用。這項活動也激勵着廣大青少年學習數學的興趣，吸引他們去進行積極的探索，不斷培養和提高他們的創造性思維能力。數學競賽的教育功能顯示出這項活動已成為中學數學教育的一個重要組成部分。

為了使全國數學競賽活動持久、健康、逐步深入地開展，中國數學會普及工作委員會於1994年制定了《高中數學競賽大綱》，這份大綱的制定對高中數學競賽活動的開展起到了很好的指導性作用，我國高中數學競賽活動日趨規範化和正規化。

同時，隨着國內外數學競賽活動的發展，對競賽活動所涉及的知識、思想和方法等方面也有了一些新的要求，原來的《高中數學競賽大綱》已經不能適應新形勢的發展和要求。經過廣泛徵求意見和多次討論, 對《高中數學競賽大綱》進行了修訂。

本大綱是在《全日制普通高級中學數學教學大綱》的精神和基礎上制定的。《全日制普通高級中學數學教學大綱》指出：“要促進每一個學生的發展，既要為所有的學生打好共同基礎，也要注意發展學生的個性和特長；……在課內外教學中宜從學生的實際出發，兼顧學習有困難和學有餘力的學生，通過多種途徑和方法，滿足他們的學習需求，發展他們的數學才能 。”

學生的數學學習活動應當是一個生動活潑、富有個性的過程，不應只限於接受、記憶、模仿和練習，還應倡導閲讀自學、自主探索、動手實踐、合作交流等學習數學的方式，這些方式有助於發揮學生學習的主動性。教師要根據學生的不同基礎、不同水平、不同興趣和發展方向給予具體的指導。教師應引導學生主動地從事數學活動，從而使學生形成自己對數學知識的理解和有效的學習策略。教師應激發學生的學習積極性，向學生提供充分從事數學活動的機會，幫助他們在自主探索和合作交流的過程中真正理解和掌握基本的數學知識與技能、數學的思想和方法，獲得廣泛的數學活動經驗。對於學有餘力並對數學有濃厚興趣的學生，教師要為他們設置一些選學內容，提供足夠的材料，指導他們閲讀，發展他們的數學才能。

教育部2000年《全日制普通高級中學數學教學大綱》中所列出的內容，是教學的要求，也是競賽的最低要求。在競賽中對同樣的知識內容，在理解程度、靈活運用能力以及方法與技巧掌握的熟練程度等方面有更高的要求。“課堂教學為主，課外活動為輔”是必須遵循的原則。因此本大綱所列的課外講授內容必須充分考慮學生的實際情況，使不同程度的學生在數學上得到相應的發展，並且要貫徹“少而精”的原則。

全國高中數學聯賽（一試）所涉及的知識範圍不超出教育部2000年《全日制普通高級中學數學教學大綱》。

全國高中數學聯賽(加試)在知識方面有所擴展，適當增加一些教學大綱之外的內容，所增加內容是：

1．平面幾何

西姆松定理；

三角形旁心、費馬點、歐拉線；

幾何不等式；

幾何極值問題；

幾何中的變換：對稱、平移、旋轉；

圓的冪和根軸

面積方法，複數方法，向量方法，解析幾何方法。

2．代數

週期函數，帶絕對值的函數；

三角公式，三角恆等式，三角方程，三角不等式，反三角函數

遞歸，遞歸數列及其性質，一階、二階線性常係數遞歸數列的通項公式；

第二數學歸納法；

均值不等式，柯西不等式，排序不等式，切比雪夫不等式，一元凸函數及其應用；

複數及其指數形式、三角形式，歐拉公式，棣莫弗定理，單位根；

多項式的除法定理、因式分解定理，多項式的相等，整係數多項式的有理根*，多項式的插值公式*；

n次多項式根的個數，根與係數的關係，實係數多項式虛根成對定理；

函數迭代，求n次迭代*，簡單的函數方程*。

3．初等數論

同餘，歐幾里得除法，裴蜀定理，完全剩餘系，不定方程和方程組，高斯函數[x]，費馬小定理，格點及其性質，無窮遞降法*，歐拉定理*，孫子定理*。

4．組合問題

圓排列，有重複元素的排列與組合，組合恆等式；

組合計數，組合幾何；

抽屜原理；

容斥原理；

極端原理；

圖論問題；

集合的劃分；

覆蓋；

平面凸集、凸包及應用*。

有*號的內容加試中暫不考，但在冬令營中可能考。