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托勒密定理

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托勒密定理(Ptolemy's theorem)指出,圓的內接凸四邊形兩對對邊乘積的和等於兩條對角線的乘積。
中文名
托勒密定理
外文名
Ptolemy's theorem
表達式
AC·BD=AB·CD+AD·BC
提出者
依巴谷
適用領域
幾何學
應用學科
數學

托勒密定理定理提出

圖1 圖1
一般幾何教科書中的“托勒密定理”,實出自喜帕恰斯(Hipparchus)之手,托勒密只是從他的書中摘出。
摘出並完善後的托勒密(Ptolemy)定理指出,圓的內接凸四邊形兩對對邊乘積的和等於兩條對角線的乘積。
定理表述:圓的內接四邊形中,兩對角線所包矩形的面積等於一組對邊所包矩形的面積與另一組對邊所包矩形的面積之和。
從這個定理可以推出正弦、餘弦的和差公式及一系列的三角恆等式,托勒密定理實質上是關於共圓性的基本性質.

托勒密定理定理定義

指圓內接凸四邊形兩對對邊乘積的和等於兩條對角線的乘積。

托勒密定理驗證推導

一、(以下是推論的證明,托勒密定理可視作特殊情況。)
任意凸四邊形ABCD中(如圖1),作△ABE使∠BAE=∠CAD ∠ABE=∠ ACD,連接DE.
則△ABE∽△ACD
所以 BE/CD=AB/AC,即BE·AC=AB·CD (1)由△ABE∽△ACD得AD/AC=AE/AB,又∠BAC=∠EAD,
所以△ABC∽△AED.
BC/ED=AC/AD,即ED·AC=BC·AD (2)
(1)+(2),得
AC(BE+ED)=AB·CD+AD·BC
又因為BE+ED≥BD
(僅在四邊形ABCD是某圓的內接四邊形時,等號成立,即“托勒密定理”)
複數證明
圖2 圖2
用a、b、c、d分別表示四邊形頂點A、B、C、D的複數,則AB、CD、AD、BC、AC、BD的長度分別是:(a-b)、(c-d)、(a-d)、(b-c)、(a-c)、(b-d)。 首先注意到複數恆等式: (ab)(cd) + (ad)(bc) = (ac)(bd) ,兩邊取模,運用三角不等式得。等號成立的條件是(a-b)(c-d)與(a-d)(b-c)的輻角相等,這與A、B、C、D四點共等價。 四點不限於同一平面。 平面上,托勒密不等式是三角不等式的反演形式。
二、
設ABCD是圓內接四邊形。 在弦BC上,圓周角∠BAC = ∠BDC,而在AB上,∠ADB = ∠ACB。 在AC上取一點K,使得∠ABK = ∠CBD; 因為∠ABK + ∠CBK = ∠ABC = ∠CBD + ∠ABD,所以∠CBK = ∠ABD。 因此△ABK與△DBC相似,同理也有△ABD ~ △KBC。 因此AK/AB = CD/BD,且CK/BC = DA/BD; 因此AK·BD = AB·CD,且CK·BD = BC·DA; 兩式相加,得(AK+CK)·BD = AB·CD + BC·DA; 但AK+CK = AC,因此AC·BD = AB·CD + BC·DA。證畢。
三、
托勒密定理:圓內接四邊形中,兩條對角線的乘積(兩對角線所包矩形的面積)等於兩組對邊乘積之和(一組對邊所包矩形的面積與另一組對邊所包矩形的面積之和).已知:圓內接四邊形ABCD,求證:AC·BD=AB·CD+AD·BC.
證明:如圖2,過C作CP交BD於P,使∠1=∠2,又∠3=∠4,∴△ACD∽△BCP.得AC:BC=AD:BP,AC·BP=AD·BC ①。又∠ACB=∠DCP,∠5=∠6,∴△ACB∽△DCP.得AC:CD=AB:DP,AC·DP=AB·CD ②。①+②得 AC(BP+DP)=AB·CD+AD·BC.即AC·BD=AB·CD+AD·BC.
四、廣義托勒密定理:設四邊形ABCD四邊長分別為a,b,c,d,兩條對角線長分別為m、n,則有:
m2*n2=a2*c2+b2*d2-2abcd*cos(A+C)

托勒密定理定理推廣

托勒密定理推廣

托勒密不等式:凸四邊形的兩組對邊乘積和不小於其對角線的乘積,取等號當且僅當共圓或共線。
簡單的證明:複數恆等式:(a-b)(c-d)+(a-d)(b-c)=(a-c)(b-d),兩邊取模,
得不等式AC·BD≤|(a-b)(c-d)|+|(b-c)(a-d)|=AB·CD+BC·AD

托勒密定理推論

1.任意凸四邊形ABCD,必有AC·BD≤AB·CD+AD·BC,當且僅當ABCD四點共圓時取等號。
2.托勒密定理的逆定理同樣成立:一個凸四邊形兩對對邊乘積的和等於兩條對角線的乘積,則這個凸四邊形內接於一圓。

托勒密定理運用要點

1.等號成立的條件是(a-b)(c-d)與(a-d)(b-c)的輻角相等,這與A、B、C、D四點共圓等價。
2.四點不限於同一平面。
歐拉定理在一條線段上AD上,順次標有B、C兩點,則AD·BC+AB·CD=AC·BD
歐拉定理的證明過程:
設AB=a,BC=b,CD=c
ADxBC=(a+b+c)xb,ABxCD=ac
ADxBC+ABxCD=ab+b^2+bc+ac
ACxBD=(a+b)(b+c)=ab+b^2+bc+ac