四點共圓

圓內接四邊形的對角和為180°,並且任何一個外角都等於它的內對角。

【如圖1：四點共圓的圖片】

四邊形ABCD內接於圓O，延長AB和DC交至E，過點E作圓O的切線EF，AC、BD交於P，則有：

（1）∠A+∠C=180°，∠B+∠D=180°（即圖中∠DAB+∠DCB=180°, ∠ABC+∠ADC=180°）

（2）∠DBC=∠DAC（同弧所對的圓周角相等）。

（3）∠ADE=∠CBE（外角等於內對角，可通過（1）、（2）得到）

（4）△ABP∽△DCP（兩三角形三個內角對應相等，可由（2）得到）

（5）AP*CP=BP*DP（相交弦定理）

（6）EB*EA=EC*ED（割線定理）

（7）EF²= EB*EA=EC*ED（切割線定理）

（8）AB*CD+AD*CB=AC*BD（托勒密定理）

（1）-（3）都是角的關係，（5）-（8）是邊的關係

方法1： 把被證共圓的四個點連成共底邊的兩個三角形，且兩三角形都在這底邊的同側，若能證明其頂角相等，從而即可肯定這四點共圓。

（可以説成：若線段同側二點到線段兩端點連線夾角相等，那麼這二點和線段二端點四點共圓）

方法2 ：把被證共圓的四點連成四邊形，若能證明其對角互補或能證明其一個外角等於其鄰補角的內對角時，即可肯定這四點共圓。

（可以説成：若平面上四點連成四邊形的對角互補或一個外角等於其內對角，那麼這四點共圓）

托勒密定理：若ABCD四點共圓（ABCD按順序都在同一個圓上），那麼AB*DC+BC*AD=AC*BD。

例題：證明對於任意正整數n都存在n個點使得所有點間兩兩距離為整數。

解答：歸納法。我們用歸納法證明一個更強的定理：對於任意n都存在n個點使得所有點間兩兩距離為整數，且這n個點共圓，並且有兩點是一條直徑的兩端。n=1，n=2很輕鬆。當n=3時，一個邊長為整數的勾股三角形即可：比如説邊長為3，4，5的三角形。我們發現這樣的三個點共圓，邊長最長的邊是一條直徑。假設對於n大於等於3成立，我們來證明n+1。假設直徑為r（整數）。找一個不跟已存在的以這個直徑為斜邊的三角形相似的一個整數勾股三角形ABC（邊長a有理數距離），記這n個有理數的最大公分母為M。最後只需要把這個新的圖擴大到原來的M倍即可。歸納法成立，故有這個命題。

西姆松定理：過三角形外接圓上異於三角形頂點的任意一點作三邊或其延長線的垂線，則三垂足共線。（此線常稱為西姆松線）。

從被證共圓的四點中先選出三點作一圓，然後證另一點也在這個圓周上，若能證明這一點，即可肯定這四點共圓．

推論：證被證共圓的點到某一定點的距離都相等，從而確定它們共圓．即連成的四邊形三邊中垂線有交點，可肯定這四點共圓．

1：把被證共圓的四個點連成共底邊的兩個三角形，且兩三角形都在這底邊的同側，若能證明其頂角相等（同弧所對的圓周角相等），從而即可肯定這四點共圓。

2：把被證共圓的四點連成四邊形，若能證明其對角互補或能證明其一個外角等於其鄰補角的內對角時，即可肯定這四點共圓。

證法見“判定2的證明”

把被證共圓的四點兩兩連成相交的兩條線段，若能證明它們各自被交點分成的兩線段之積相等，即可肯定這四點共圓（相交弦定理的逆定理）；或把被證共圓的四點兩兩連結並延長相交的兩線段，若能證明自交點至一線段兩個端點所成的兩線段之積等於自交點至另一線段兩端點所成的兩線段之積，即可肯定這四點也共圓．（割線定理的逆定理）

上述兩個定理統稱為圓冪定理的逆定理，即ABCD四個點，分別連接AB和CD,它們（或它們的延長線）交點為P，若PA*PB=PC*PD，則ABCD四點共圓。

證明：連接AC,BD，∵PA*PB=PC*PD

∴PA/PC=PD/PB

∵∠APC=∠BPD

∴△APC∽△DPB

當P在AB,CD上時，由相似得∠A=∠D，且A和D在BC同側。根據方法2可知ABCD四點共圓。

當P在AB,CD的延長線上時，由相似得∠PAC=∠PDB，且A和D在BC同側。同樣根據方法2可知ABCD四點共圓。

四邊形ABCD中，若有AB*CD+AD*BC=AC*BD，即兩對邊乘積之和等於對角線乘積，則ABCD四點共圓。該方法可以由托勒密定理逆定理得到。

托勒密定理逆定理：對於任意一個凸四邊形ABCD，總有AB*CD+AD*BC≥AC*BD,等號成立的條件是ABCD四點共圓。

如圖2，在四邊形內作△APB∽△DCB（只需要作∠PAB=∠CDB,∠PBA=∠CBD即可）

由相似得∠ABP=∠DBC，∠BAP=∠BDC

∴∠ABP+∠PBD=∠DBC+∠PBD

即∠ABD=∠PBC

又由相似得AB:BD=PB:CB=AP:CD

∴AB*CD=BD*AP，△ABD∽△PBC

∴AD:BD=PC:BC，即AD*BC=BD*PC

兩個等式相加，得AB*CD+AD*BC=BD*(PA+PC)≥BD*AC,等號成立的充要條件是APC三點共線

而APC共線意味着∠BAP=∠BAC，而∠BAP=∠BDC，∴∠BAC=∠BDC

根據判定2-1，ABCD四點共圓

西姆松定理逆定理：若一點在一三角形三邊上的射影共線，則該點在三角形外接圓上。

設有一△ABC，P是平面內與ABC不同的點，過P作三邊垂線，垂足分別為L,M,N，若L,M,N共線，則P在△ABC的外接圓上。

如圖3，PM⊥AC,PN⊥AB,PL⊥BC，且L,N,M在一條線上。

連接PB,PC，∵∠PLB+∠PNB=90°+90°=180°

∴PLBN四點共圓

∴∠PLN=∠PBN，即∠PLM=∠PBA

同理，∠PLM=∠PCM，即∠PLM=∠PCA=∠PBA

根據判定2-1，P在△ABC外接圓上.

1：平面上四個點連成共底邊的兩個三角形，且兩三角形都在這底邊的同側，若底邊的對角相等，那麼四點共圓.

幾何描述：四邊形ABCD中，∠BAC=∠BDC，則ABCD四點共圓。

證明：過ABC作一個圓，明顯D一定在圓上。若不在圓上，可設射線BD與圓的交點為D'，那麼∠BD'C=∠BAC=∠BDC，與外角定理矛盾。

2：若平面上四點連成四邊形的對角互補。那麼四點共圓

已知：四邊形ABCD中，∠A+∠C=180°

求證：四邊形ABCD內接於一個圓（A，B，C，D四點共圓）

證明：用反證法

過A，B，D作圓O，假設C不在圓O上，點C在圓外或圓內，若點C在圓外，設BC交圓O於C’，連結DC’，根據圓內接四邊形的性質得∠A+∠DC’B=180° ，

∵∠A+∠C=180° ∴∠DC’B=∠C

這與三角形外角定理矛盾，故C不可能在圓外。類似地可證C不可能在圓內。

∴C在圓O上，也即A，B，C，D四點共圓。

我們先引一個這樣的理：

（同旁倍角模式之一）A、O在BC同側，OB=OC，∠BOC=2∠BAC，求證：OA=OB.（這裏的角都是任意角）

證明比較多，現列舉出兩種方法：

法1：作O關於AB、AC的對稱點D、E，則AD=AO=AE,DB=BO=OC=CE,∠BOC=∠DAE.

則∠OBD=2∠OBA，∠OCE=2∠OCA，∠OBA+∠OCA=∠BOC-∠BAC=∠BAC.

∴∠OBD+∠OCE=∠BOC.由三角形BOC內角和得∠DBC+ECB=180°，故DB∥CE，得平行四邊形DBCE.

∴DE=BC.由AD=AE，OB=OC，∠DAE=∠BOC得∠ADE=∠AED=∠OBC=∠OCB.∴△ADE≌△OBC（ASA），故AD=AO=OB=OC.

法2：在射線AC上取M使MA=MB.則∠BOC+∠BMC=2∠BAC+∠BMC=180°.

（對角互補模型，可以做雙高或構造等腰來證明，這裏用的是後者）△OCM旋轉至△OBN，得N,B,M共線,OM=ON，∴∠OMC=∠ONM=∠OMN.

∵MA=MB，MO=MO，∴△MOA≌△MOB（SAS），故OA=OB=OC.

證明：以判定2-1（C、D在AB同側，∠ACB=∠ADB（=α），則A、B、C、D四點共圓）為例

如圖4，在AB同側作頂角為2α的等腰三角形OAB，由引理得OA=OB=OC=OD，故A、B、C、D四點共圓.