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圓內接四邊形

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圓內接四邊形（Cyclic quadrilateral）是一個幾何概念，是指四個頂點均在同一圓上的四邊形。圓內接四邊形擁有很多幾何性質，可用於數學幾何問題求解。
中文名
圓內接四邊形
外文名
Cyclic quadrilateral
適用領域
幾何學
應用學科
數學

目錄

  1. 1 性質定理
  2. 2 判定定理
  3. 3 面積計算
  4. 4 相關例題

圓內接四邊形性質定理

以圖1所示圓內接四邊形ABCD為例，圓心為O，延長AB至E，AC、BD交於P，則：
1.圓內接四邊形的對角互補：∠BAD+∠DCB=180°，∠ABC+∠ADC=180°
2.圓內接四邊形的任意一個外角等於它的內對角：∠CBE=∠ADC
3.圓心角的度數等於所對弧的圓周角的度數的兩倍：∠AOB=2∠ACB=2∠ADB
4.同弧所對的圓周角相等：∠ABD=∠ACD
5.圓內接四邊形對應三角形相似：△ABP∽△DCP（三個內角對應相等）
圖1 示例圖 圖1 示例圖
6.相交弦定理：AP×CP=BP×DP
7.托勒密定理：AB×CD+AD×CB=AC×BD

圓內接四邊形判定定理

1、如果一個四邊形的對角互補，那麼這個四邊形內接於一個圓；
2、如果一個四邊形的外角等於它的內對角，那麼這個四邊形內接於一個圓；
3、如果一個四邊形的四個頂點與某定點等距離，那麼這個四邊形內接於以該點為圓心的一個圓；
4、若有兩個同底的三角形，另一頂點都在底的同旁，且頂角相等，那麼這兩個三角形有公共的外接圓；
5、如果一個四邊形的張角相等，那麼這個四邊形內接於一個圓；
6、相交弦定理的逆定理；
7、托勒密定理的逆定理。

圓內接四邊形面積計算

S圓內接四邊形
，p=（a+b+c+d）/2，此公式稱之為婆羅摩笈多公式。與海倫公式對比可以看出，這和海倫公式三角形面積
具有驚人的相似性，其實海倫公式就是婆羅摩笈多公式d=0的特殊形式。

圓內接四邊形相關例題

例題1 例題1
例題1：
在圓內接四邊形ABCD中，AB=3，AD=5，BD=7，∠BDC=45°，則BC的長為_______？
答案
使用餘弦定理：BD2=AB2+AD2-2AB×AD×cosA，解得∠A=120°，
因為：圓內接四邊形對角互補，
所以：∠C=60°，
使用正弦定理： BC÷sin∠BDC=BD÷sin∠C，
即BC÷[(√2)÷2]=7÷[(√3)/2]
所以：BC=(7√6)/3
例題2：
圖2 梯形ABCD 圖2 梯形ABCD
如圖2，在梯形ABCD中，AB//DC，AB>CD，K、M分別在AD、BC上，∠DAM=∠CBK，
求證：∠DMA=∠CKB（第二屆袓衝之杯初中數學競賽考題）
答案
證明：連接KM與BC延長線上一點E。
因為：∠DAM=∠CBK
所以：AKMB四點共圓
因為：AB//DC
所以：∠DKM=∠MBA =∠DCE
所以：∠AKB=∠AMB，∠DKM=∠MBA
所以：CDKM四點共圓
例題2（答案圖） 例題2（答案圖）
所以：∠DKC=∠CMD
所以：∠CKB=∠DMA