複製鏈接
請複製以下鏈接發送給好友
https://baike.baidu.hk/item/三角不等式/3957284
複製
複製成功

三角不等式

鎖定
三角不等式，即在三角形中兩邊之和大於第三邊，有時亦指用不等號連接的含有三角函數的式子（這裏不作介紹）。三角不等式雖然簡單，但卻是平面幾何不等式裏最為基礎的結論。
中文名
三角不等式
外文名
the Triangle Inequality(英語)
Inégalité triangulaire(法語)
適用領域
數學、物理
應用學科
理工
學科領域
數學，平面幾何
基本解釋
在三角形中兩邊之和大於第三邊

目錄

  1. 1 術語解釋
  2. 2 術語證明
  3. 3 推論
  4. 4 術語應用

三角不等式術語解釋

在一個三角形中，任意兩邊之和大於第三邊。 [1] 

三角不等式術語證明

方法一（線段公理）：
記△ABC，其中BC是一條線段，而AB+AC不是一條線段，所以AB+AC＞BC，所以三角形兩邊之和必然大於第三邊（兩點之間線段最短）。（注意：這裏引用的線段公理並不是《幾何原本》中的公設） [2] 
三角不等式 三角不等式
方法二（《幾何原本》第Ⅰ 卷命題20）：
設ABC為一個三角形，記△ABC，延長BA至點D，使DA = CA，連接DC.
則因DA = AC ，∠ADC = ∠ACD （等邊對等角，《幾何原本》命題5）
所以∠BCD大於∠ADC（整體大於部分公理）
由於DCB是三角形，∠BCD大於∠BDC，而且較大角所對的邊較大（大角對大邊，命題19）
所以DB＞BC，而DA = AC
則DB = AB + AD = AB + AC＞BC. [1] 

三角不等式推論

下面不加證明地給出若干個定理。
推論一 ：
對於兩條相交線段AB、CD，必有AC+BD小於AB+CD。
三角不等式 三角不等式
推論二（絕對值不等式）:
對於
，有
此式也稱為三角不等式。
當且僅當：
對於
，第一個等號有
，第二個等號有
。
其等號成立。
對於
，第一個等號有
，第二個等號有
。
推論三（向量三角不等式）：
對於任意兩個向量
、
，其加強的不等式
也成立，這個不等式也可稱為向量的三角不等式。
推論四（複數三角不等式）：
若推論三中將兩個向量換為任意兩個複數，則定理仍成立。
變換後的式子稱為（複數的）三角不等式。 [3] 

三角不等式術語應用

參考資料
  • 1.    歐幾里德著,蘭紀正、朱恩寬譯．歐幾里德·幾何原本．陝西：陝西科學技術出版社，2003：17-19
  • 2.    何樂. 再談“三角形兩邊之和大於第三邊”的證明與應用[J]. 初中數學教與學, 2012(17).
  • 3.    沈華. 關於複數的三角不等式[J]. 中學數學, 2003(7).