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凱西定理

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在數學中，凱西定理（Casey's theorem），也稱為廣義托勒密定理，是歐幾里德幾何中以愛爾蘭數學家 John Casey命名的定理。凱西定理及其反演可用於證明歐幾里德幾何中的各種陳述。
中文名
凱西定理
外文名
Casey's theorem
別    名
廣義托勒密定理
相關人物
John Casey
應    用
歐幾里得幾何證明

目錄

  1. 1 定理內容
  2. 2 證明
  3. 3 進一步概括

凱西定理定理內容

設
是一個半徑為
的圓，
是（按此順序）位於內部的四個不相交的圓圈，
和它相切，
表示圓
外部共同點的長度，然後 [1]  ：
請注意，所有四個圓都減少到點情況下，這正是托勒密定理。
圖1.凱西定理 圖1.凱西定理

凱西定理證明

半徑為
的圓
與圓
相切於點
，用符號
表示圓的中心，畢達哥拉斯定理表示如下：
用點
來表示長度 。由三角形
的餘弦定律，
因為圓
相切：
設
成為圓
上的一個點，根據三角形
的正弦定律：
因此，
代入上述公式：
最後，求得長度
現在可以評估等式左側，藉助於原始托勒密定理應用於內切四邊形
:

凱西定理進一步概括

可以看出，四個圓圈不必位於大圓圈內。事實上，它們也可能與外界相切。在這種情況下，應做出以下改變：
（1）如果
都是從同一側切線（無論是在圓
內還是在圓
外），
是外部公切線的長度；
（2）如果
從不同的側面切線，
是內部公切線的長度。
凱西定理的放過來也成立，即，如果等式成立，則圓圈與公共圓相切。
參考資料
  • 1.    Zacharias, M. (1942). "Der Caseysche Satz". Jahresbericht der Deutschen Mathematiker-Vereinigung. 52: 79–89.