正弦定理

歷史上，正弦定理的幾何推導方法豐富多彩。根據其思路特徵，主要可以分為兩種。

第一種方法可以稱為 “同徑法 ”，最早為13世紀阿拉伯數學家、天文學家納綏爾丁和15世紀德國數學家雷格蒙塔努斯所採用。“同徑法 ”是將三角形兩個內角的正弦看作半徑相同的圓中的正弦線（16世紀以前，三角函數被視為線段而非比值），利用相似三角形性質得出兩者之比等於角的對邊之比。納綏爾丁同時延長兩個內角的對邊，構造半徑同時大於兩邊的圓。雷格蒙塔努斯將納綏爾丁的方法進行簡化，只延長兩邊中的較短邊，構造半徑等於較長邊的圓。17~18世紀，中國數學家、天文學家梅文鼎和英國數學家辛普森各自獨立地簡化了“同徑法”。

18世紀初，“同徑法”又演化為“直角三角形法”，這種方法不需要選擇並作出圓的半徑，只需要作出三角形的高線，利用直角三角形的邊角關係，即可得出正弦定理。19世紀，英國數學家伍德豪斯開始統一取R=1，相當於用比值來表示三角函數，得到今天普遍採用的 “作高法”。

第二種方法為“外接圓法”，最早為16世紀法國數學家韋達所採用。韋達沒有討論鈍角三角形的情形，後世數學家對此作了補充。 ^[2] 

在任意△ABC中，角A、B、C所對的邊長分別為a、b、c，三角形外接圓的半徑為R，直徑為D。則有：

一個三角形中，各邊和所對角的正弦之比相等，且該比值等於該三角形外接圓的直徑（半徑的2倍）長度。 ^[3] 

做一個邊長為a，b，c的三角形，對應角分別是A，B，C。從角C向c邊做垂線，得到一個長度為h的垂線和兩個直角三角形。

很明顯：

和

因此：

和

同理：

①鋭角三角形中

如圖1，作△ABC的外接圓，O為圓心。連結BO並延長交圓於D， 設BD=2R。根據直徑所對圓周角是直角及同弧所對圓周角相等，可得:∠DAB=90°，∠C=∠D。

∴

，

∴

。

同理可證

,

。

∴

。 ^[4] 

②直角三角形中

因為BC =a= 2R，可以得到

所以可以證明

③鈍角三角形中

線段BD是圓的直徑 根據圓內接四邊形對角互補的性質

所以

因為BD為外接圓的直徑BD = 2R。根據正弦定義

變形可得

根據以上的證明方法可以證明得到得到三角形的一條邊與其對角的正弦值的比等於外接圓的直徑，即

若△ABC為鋭角三角形,過點A作單位向量j⊥

,則j與

的夾角為90°-∠A,j與

的夾角為90°-∠C.由向量的加法原則可得

為了與圖中有關角的三角函數建立聯繫,我們在上面向量等式的兩邊同取與向量j的數量積運算,得到

∴|j| |

| Cos90°+|j| |

| Cos(90°-C)=|j| |

|Cos(90°-A)

.∴asinC=csinA 即

同理,過點C作與

垂直的單位向量j,則j與

的夾角為90°+∠C,j與

的夾角為90°+∠B,

可得

若△ABC為鈍角三角形,不妨設A>90°,過點A作與AB垂直的單位向量j,則j與AC的夾角為∠A-90°,j與CB的夾角為90°+∠B.同理

a·Cos(90°-B)=b·Cos(A-90°),

∴asinB=bsinA 即

過點C作與

垂直的單位向量j,則j與

的夾角為90°+∠C,j與

的夾角為90°+∠B,可得

綜上，

。 ^[4] 

正弦定理指出了任意三角形中三條邊與對應角的正弦值之間的一個關係式。由正弦函數在區間上的單調性可知，正弦定理非常好地描述了任意三角形中邊與角的一種數量關係。

一般地，把三角形的三個角A、B、C和它們的對邊a、b、c叫做三角形的元素。已知三角形的幾個元素求其他元素的過程叫做解三角形。正弦定理是解三角形的重要工具。 ^[5] 

在解三角形中，有以下的應用領域：

物理學中，有的物理量可以構成矢量三角形 。因此, 在求解矢量三角形邊角關係的物理問題時, 應用正弦定理，常可使一些本來複雜的運算，獲得簡捷的解答。 ^[6] 

△ABC中，若角A，B，C所對的邊為a，b，c，三角形外接圓半徑為R，直徑為D，正弦定理進行變形有

1.

2.

,

,

3.

4.

（等比，不變）

5.

（三角形面積公式） ^[1] 

若三面角的三個面角分別為α、β、γ，它們所對的二面角分別為A、B、C,則