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梅涅勞斯定理
鎖定
- 中文名
- 梅涅勞斯定理
- 外文名
- Menelaus
- 別 名
- 梅氏定理，梅內勞斯定理
- 表達式
- (AF/FB)×(BD/DC)×(CE/EA)=1
梅涅勞斯定理記憶口訣
頂點到交點，交點回頂點。
梅涅勞斯定理定理定義
當一條直線交
三邊所在的直線
分別於點
時，則有
梅涅勞斯定理定理證明
梅涅勞斯定理證明一
過點
作
交
的延長線於點
, 則
證明一
梅涅勞斯定理證明二
過點
作
交
於
，則
兩式相乘得
證明二
梅涅勞斯定理證明三
連接
，
根據“兩個三角形等高時面積之比等於底邊之比” 的性質有,
（1）
（2）
（3）得,
證明三
梅涅勞斯定理證明四
過三頂點作直線DEF的垂線AA‘，BB'，CC'，如圖:
證明四 - 1
證明四 - 1
充分性證明：
連接 DF 交 CA 於 E'，則由充分性可得，
又∵
推論 在
的三邊
或其延長線上分別取
三點，又分比是
。
（注意與塞瓦定理相區分，那裏是λμν=1）
[2]
此外，用該定理可使其容易理解和記憶第一角元形式的梅涅勞斯定理
如圖2：
證明四 - 2
證明四 - 2
若 E，F，D 三點共線，則
即圖中的藍角正弦值之積等於紅角正弦值之積。
該形式的梅涅勞斯定理也很實用。
證明：可用面積法推出：第一角元形式的梅氏定理與頂分頂形式的梅氏定理等價。
第二角元形式的梅涅勞斯定理
在平面上任取一點O，且EDF共線，則
證明四 - 3
梅涅勞斯定理證明五
作 CH 平行於 AB 交 FD 於點 H
梅涅勞斯定理
梅涅勞斯定理
梅涅勞斯定理
梅涅勞斯定理定理意義
使用梅涅勞斯定理可以進行直線形中線段長度比例的計算，其逆定理還可以用來解決三點共線、三線共點等問題的判定方法，是平面幾何學以及射影幾何學中的一項基本定理，具有重要的作用。梅涅勞斯定理的對偶定理是塞瓦定理。
[3]
它的逆定理也成立：若有三點F、D、E分別在三角形的邊AB、BC、CA或其延長線上，且滿足
則F、D、E三點共線。利用這個逆定理，可以判斷三點共線。
梅涅勞斯定理定理推廣
若梅氏線完全在三角形外，那麼該三角形仍然成立。
