重心

地球上的任何物體都要受到地球的引力，若把物體假想地分割成無數部分，則所有這些微小部分受到的地球引力將組成一個空間匯交力系(匯交點在地球中心)。由於物體的尺寸與地球的半徑相比要小很多，因此可近似地認為這個力系是空間平行力系，此平行力系的合力G即物體的重力。通過實驗可以知道，無論物體怎樣放置，其重力總是通過物體內的一個確定點一平行力系的中心，這個確定的點稱為物體的重心 ^[1]  。

如果物體的體積和形狀都不變，則無論物體對地面處於什麼方向，其所受重力總是通過固定在物體上的座標系的一個確定點，即重心。重心不一定在物體上，例如圓環的重心就不在圓環上，而在它的對稱中心上 ^[2]  。

重心位置在工程上有重要意義。例如，起重機要正常工作，其重心位置應滿足一定條件，艦船的浮升穩定性也與重心的位置有關；高速旋轉機械，若其重心不在軸線上，就會引起劇烈的振動等 ^[2]  。

質量均勻分佈的物體（均勻物體），重心的位置只跟物體的形狀有關。有規則形狀的物體，它的重心就在幾何中心上，例如，均勻細直棒的中心在棒的中點，均勻球體的重心在球心，均勻圓柱的重心在軸線的中點。不規則物體的重心，可以用懸掛法來確定，物體的重心，不一定在物體上 ^[3]  。

質量分佈不均勻的物體，重心的位置除跟物體的形狀有關外，還跟物體內質量的分佈有關。載重汽車的重心隨着裝貨多少和裝載位置而變化，起重機的重心隨着提升物體的重量和高度而變化 ^[3]  。

下面的幾何體都是均勻的，線段指細棒，平面圖形指薄板 ^[3]  。

(1)三角形的重心就是三邊中線的交點 ^[3]  ，如圖1

(2)線段的重心就是線段的中點 ^[3]  。

(3)平行四邊形的重心就是其兩條對角線的交點，也是兩對對邊中點連線的交點，如所示 ^[3]  。

(4)圓的重心就是圓心，球的重心就是球心，如圖2所示 ^[3]  。

(5)錐體的重心是頂點與底面中心連線的四等分點上最接近底面的一個，如圖3所示 ^[3]  。

(6)四面體的重心是兩對對角線的交點，如圖4所示 ^[3]  。

(7)圓柱體的重心是圓柱體中間截面的圓心，如圖5所示 ^[3]  。

(8)組合體重心：先求出各個物體的重心，再確定組合體的重心，如圖6所示 ^[3]  。

(1)懸掛法

只適用於薄板（不一定均勻）。首先找一根細繩，在物體上找一點，用繩懸掛，劃出物體靜止後的重力線，同理再找一點懸掛，兩條重力線的交點就是物體重心 ^[4]  。

(2)支撐法

只適用於細棒（不一定均勻）。用一個支點支撐物體，不斷變化位置，越穩定的位置，越接近重心 ^[4]  。

一種可能的變通方式是用兩個支點支撐，然後施加較小的力使兩個支點靠近，因為離重心近的支點摩擦力會大，所以物體會隨之移動，使另一個支點更接近重心，如此可以找到重心的近似位置 ^[4]  。

(3) 針頂法

同樣只適用於薄板。用一根細針頂住板子的下面，當板子能夠保持平衡，那麼針頂的位置接近重心 ^[4]  。

與支撐法同理，可用3根細針互相接近的方法，找到重心位置的範圍，不過這就沒有支撐法的變通方式那樣方便了 ^[4]  。

(4)用鉛垂線找重心（任意一圖形，質地均勻）

用繩子找其一端點懸掛，後用鉛垂線掛在此端點上（描下來）。而後用同樣的方法作另一條線。兩線交點即其重心 ^[4]  。

取固連在物體上的空間直角座標系Oxyz，設物體的重心座標為x_c，y_c，Z_c，如圖7所示 將物體分成若干微小部分，每個微小部分所受重力分別為W₁，W₂，····，W_n，各力作用點的座標分別為(x₁，y₁，z₁)，(x₂，y₂，z₂)，···，(x_n，y_n，z_n)。W是各重力W₁，W₂，···，W_n的合力。根據合力矩定理，合力W對軸之矩等於各分力對同軸之矩的代數和 ^[5]  。如對x軸之矩有

或

可得

同理可得y軸之矩

將座標系連同物體繞y軸轉90°，使x軸鉛直向上，重心位置不變，再應用合力矩定理，對新的y軸求力矩，用與上述相同的方法 ^[5]  ，可得