複變函數與積分變換

《複變函數與積分變換》不追求理論知識的完整性與系統性，而注重應用性，對其他理工類本科專業也適用。

本書是為獨立學院學生編寫的理工類基礎課“複變函數與積分變換”的教材。

本書內容以“必需、夠用”為度，通俗易懂，包括複數和複變函數、解析函數、複變函數的積分、級數、留數定理、保形映射、傅里葉變換、拉普拉斯變換等。

本書不追求理論知識的完整性與系統性，而注重應用性，對其他理工類本科專業也適用。 ^[1] 

第1章 複數和複變函數

1.1 複數

1.1.1 複數的概念

1.1.2 共軛複數及複數的四則運算

1.2 複平面及複數的三角表達式

1.2.1 複平面

1.2.2 複數的模與輻角及三角表達式

1.2.3 複數模的三角不等式

1.2.4 利用複數的三角表達式作乘除法

1.2.5 複數的乘方和開方

1.3 平面點集

1.4 複變函數

1.4.1 複變函數的概念

1.4.2 複變函數的極限和連續性

習題1

第2章 解析函數

2.1 解析函數的概念

2.1.1 複變函數的導數

2.1.2 解析函數的概念與求導規則

2.1.3 函數解析的充要條件

2.2 解析函數與調和函數的關係

2.3 初等函數

2.3.1 指數函數

2.3.2 對數函數

2.3.3 冪函數

2.3.4 三角函數

習題2

第3章 複變函數的積分

3.1 複變函數的積分

3.1.1 複變函數積分的定義

3.1.2 複變函數積分的基本性質

3.1.3 複變函數積分的計算方法

3.2 柯西積分定理

3.3 柯西積分公式

習題3

第4章 級數

4.1 復級數的基本概念

4.1.1 複數項級數

4.1.2 複變函數項級數

4.2 冪級數

4.3 泰勒(Taylor)級數

4.4 羅朗(Laurent)級數

習題4

第5章 留數定理

5.1 零點與孤立奇點

5.2 留數定理

5.3 留數理論在實積分中的應用

5.3.1 三角函數的積分

5.3.2 上某些函數的廣義積分

5.3.3 積分

習題5

第6章 保形映射

6.1 保形映射的概念

6.1.1 導數的幾何意義

6.1.2 保形映射的概念

6.1.3 解析函數的保域性與邊界對應原理

6.2 分式線性變換

6.2.1 分式線性變換的分解

6.2.2 分式線性變換的保形性

6.2.3 分式線性變換的保對稱點性

6.3 分式線性變換的應用舉例

6.4 幾個初等函數的映射

6.4.1 指數函數

6.4.2 冪函數

習題6

第7章 傅里葉變換

7.1 傅里葉變換的概念與性質

7.1.1 傅里葉積分定理

7.1.2 傅里葉變換

7.1.3 單位脈衝函數及傅里葉變換

7.2 傅里葉變換的性質

7.2.1 線性性質

7.2.2 位移性質

7.2.3 微分性質

7.2.4 積分性質

7.2.5 乘積定理

7.2.6 能量積分

7.2.7 卷積定理

7.3 傅里葉變換的應用

習題7

第8章 拉普拉斯變換

8.1 拉普拉斯變換的概念

8.1.1 傅里葉變換的侷限性

8.1.2 拉普拉斯變換的定義與存在性定理

8.1.3 拉普拉斯逆變換公式

8.2 拉普拉斯變換的性質

8.2.1 線性性質

8.2.2 微分性質

8.2.3 積分性質

8.2.4 位移性質

8.2.5 延遲性質

8.3 卷積及其性質

8.3.1 卷積的概念

8.3.2 卷積定理

8.4 拉普拉斯變換的應用

習題8

附錄A 傅里葉變換簡表

附錄B 拉普拉斯變換簡表

部分習題答案

參考文獻

^[1]