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分式線性變換

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給定滿足條件ad-bc≠0的四個復常數a，b，c，d，把由函數w=f(z)=(az+b)/(cz+d)定義的變換稱為分式線性變換，定義中的條件ad-bc≠0 是為了保證變換的保角性。分式線性變換是最簡單的共形映射，同時也是共形映射一般理論的基礎，並且具有許多幾何直觀十分明顯的重要性質。在建立邊界為圓弧或直線的區域之間的共形映射時，分式線性變換是一個非常有利的工具 [1]  。
中文名
分式線性變換
外文名
linearfractionaltransformation
所屬學科
數學（複變函數）
相關概念
保角變換、分時線性函數等
類    型
數學術語

目錄

  1. 1 基本介紹
  2. 2 分式線性變換的性質
  1. ▪ 定理1
  2. ▪ 定理2
  3. ▪ 定理3
  1. ▪ 定理4

分式線性變換基本介紹

由分式線性函數
所給出的映射叫做分式線性變換，它有幾個特殊形式：
（1）平移變換
這是整個平面的一個平移，每一個點都移動一個向量b。
（2）旋轉變換
（
是實數），這是以原點為中心的一個旋轉，旋轉角為
。
（3）相似變換
這是一個以原點為中心，伸張係數為r的相似變換。
（4）倒數變換
它又可以分解為:
及
前者是一個關於單位圓周的反演變換，後者是一個關於實軸的反射變換。
對任意分式線性變換，可分為兩種情況;
1.若c=0，它是一個整線性變換
可由（1）一（3）三種簡單變換疊合而成。
2.若
把它改寫成
，可由（1）—（4）四種簡單變換疊合而成 [1]  。

分式線性變換分式線性變換的性質

分式線性變換定理1

任一個分式線性函數(1)，給出一個從閉z平面到閉w平面的雙方單值的保角變換(這裏我們定義兩條曲線交在無窮遠處的角，等於它們在倒數變換下的象曲線在原點的交角) [1]  。

分式線性變換定理2

(保圓性)分式線性變換把圓周變成圓周。
這裏及下面幾個定理中，所説到的圓周，都包括直線在內，也就是説，把直線看成是通過無窮遠點的圓周。這樣，一個圓周經過分式線性變換後，究竟是變成直線還是普通圓周，只要看它上面有沒有無窮遠點就可以確定。

分式線性變換定理3

(保對稱點不變性)分式線性變換把對某一圓周為對稱的點，變為對這個圓周的象對稱的點。

分式線性變換定理4

任給z平面上三個不同的點
和w平面上的三個點
則存在唯一個分式線性變換，把
分別變為
而且這個分式線性變換可表為
這裏
。
如果
或
中的某一個是
只需在(2)式中把含有這個數的因子改為1即可，例如，當
時，(2)式成為
即
由保圓性可知，分式線性變換(1)，把由三點
所確定的圓周C，變成由三點
所確定的圓周C'，圓周C和C' 分別將z平免和w平面分成兩個區域
及
和
及
，而且變換(1)把由
經
走向
時，位在左邊的區域，變成在w平面上，由
經
走向
時，位在左邊的區域。
利用分式線性變換解題時，下述事實是經常有用的: 如果一個分式線性變換
滿足條件
則這個變換可以表為
(k為任意復常數).
特別地，若
則
。 [1] 
參考資料
  • 1.    盧樹銘，朱功勤．高等數學的理論與解題技巧：安徽教育出版社，1984年01月第1版