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保角變換

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取z=ω(ζ)，式中ζ=ξ+iη，則在像平面ζ上的每一個點(ξ，η)必在物理平面z上有一個點(x，y)與之對應。假設S為ζ平面上的一條曲線，若令某點沿S移動，則對應點z在z平面上劃出一條曲線S'。如果ω(ζ)是解析的，且ω'(ζ)≠0，則在ζ平面上原來夾角為α的兩條曲線S1和S2，經過上述變換，在z平面上劃出的兩條曲線S1'和S2'的夾角仍為α，則變換z=ω(ζ)稱為保角變換。 [1] 
中文名
保角變換
外文名
conformaltransformation
所屬學科
數理科學
相關概念
映射、變換、單值函數等

目錄

  1. 1 基本知識
  2. 2 注意事項
  3. 3 例題解析

保角變換基本知識

當
變換為單值函數時，對於Z平面上的一個點
，在W平面就有一點叫
與之對應；對於Z平面上的一條曲線C，W平面就有一條曲線C'與之對應；同樣，在Z平面上的一個圖形D，也在W平面就有一個圖形D'與之對應，這種對應關係稱為映射，或稱為變換．如圖1所示。在這種變換中，儘管圖形的形狀要發生變化，但是相應的兩條曲線之間的夾角卻保持不變，所以該變換也叫做保角變換。 [2] 
圖1（a）保角變換 圖1（a）保角變換
圖2（b）保角變換 圖2（b）保角變換
為了證明保角性，設Z平面的
點，沿曲線
有一個增量
，沿曲線
有一個增量
；相應的W平面的
點，沿曲線
有一個增量
，沿曲線
有一個增量
，於是
當
不等於零時，它們之間的輻角關係為
以上兩式相減，得
即
這樣就證明了保角性。在變換前後，圖形的形狀要產生旋轉和伸縮，但是兩條曲線之間的夾角保持不變。使用保角變換法求解靜態場問題的關鍵是選擇適當的變換函數，將Z平面上比較複雜的邊界變換成W平面上較易求解的邊界。 [2] 

保角變換注意事項

使用保角變換應注意以下幾點。
(1)如果變換以前勢函數滿足拉普拉斯方程，則在變換以後勢函數也滿足拉普拉斯方程。如果變換以前勢函數滿足泊松方程，即
則在變換以後，勢函數滿足以下泊松方程：
式中，
。這表明，二維平面場的電荷密度經過變換以後要發生變化，但是電荷總量不變，其理由是
而
所以
(2) 在變換前後，Z平面和W平面對應的電場強度要發生變化，它們之間的關係為
這是因為，從Z平面變換到W平面時，線元的長度要伸長
倍，相應的電場強度要減小
倍。
(3) 變換前後，兩導體之間的電容量不變。這裏的電容是指單位長度的電容。因為變換前後兩個導體之間的電位差不變，兩導體面上的電場和電荷密度發生了變化，但是，導體上的電荷總量不變。如取
為Z平面上導體表面，
為變換以後W平面上的導體表面，則沿軸線方向單位長度的
上的總電荷為
則沿軸線方向單位長度的
上的總電荷為
因為
所以有
可以使用這個性質方便地計算兩個導體之間的電容量。 [2] 

保角變換例題解析

例1 設無限長同軸線的內導體半徑為
，電位為
；外導體內半徑為b，電位為零。內、外導體間充滿介電常數為
的均勻介質。試計算同軸線的電位分佈及單位長度的分佈電容。
解：應用對數形式的複變函數計算電位分佈。因為是二維平面場，在Z平面上導體邊界形狀是圓，所以選擇u為等位線。
設
，令
由邊界條件確定常數A和
，即
於是
則
令
，得
因此，Z平面上u是以軸心為圓心、以
為半徑的一簇同心圓。
Z平面上內、外導體間的介質區域，通過保角變換變為W平面上一長方形區域。在W平面上計算單位長度電容
，只需求出距離為
、寬度為
的平板電容器的單位長度電容，所以計算要簡單得多。 [2] 
參考資料
  • 1.    王光欽，丁桂保，楊傑．彈性力學 第3版：清華大學出版社，2015.07
  • 2.    馬海武．電磁場理論：清華大學出版社，2016.06