複變函數與積分變換

本書按教育部高等學校的複變函數與積分變換課程教學大綱要求編寫，知識體系完整，邏輯性、系統性強，例題及習題豐富.內容包括複變函數與積分變換兩部分，其中複變函數內容包括複數與複變函數、解析函數、復積分、復級數、留數定理、保形映射；積分變換內容包括傅里葉（Fourier）變換及性質、拉普拉斯（Laplace）變換及性質、積分變換的應用.本書每章節都配有適量習題，每章附有小結和總習題，習題附有答案，方便讀者自學、歸納，可供有需要的專業選用.

本書可作為高等學校理工科相關專業師生的教學用書或教學參考書，也可供科技工作者參考. ^[2] 

引言1

第1章複數與複變函數3

1.1複數3

1.1.1複數的概念3

1.1.2複數的代數運算3

1.1.3複數的表示法4

1.1.4共軛複數與複數的模5

1.1.5複數的n次方根10

1.1.6復球面（無窮遠點）11

習題1.113

1.2複平面上的點集14

1.2.1平面點集的初步概念14

1.2.2區域與Jordan曲線15

習題1.217

1.3複變函數18

1.3.1複變函數的概念18

1.3.2複變函數的極限與連續性20

習題1.324

小結24

總習題125

第2章解析函數26

2.1解析函數的概念26

2.1.1複變函數的導數與微分26

2.1.2解析函數的概念與性質28

習題2.129

2.2函數解析的充要條件30

習題2.233

2.3初等函數34

2.3.1指數函數、三角函數和雙曲函數34

2.3.2對數函數36

2.3.3冪函數37

2.3.4反三角函數與反雙曲函數38

習題2.339

小結39

總習題239

第3章複變函數的積分41

3.1複變函數積分的概念及性質41

3.1.1複變函數積分的概念41

3.1.2複變函數積分存在的條件及計算方法42

3.1.3複變函數積分的基本性質44

習題3.146

3.2柯西（Cauchy）積分定理及應用46

3.2.1柯西積分定理47

3.2.2解析函數的原函數與不定積分47

3.2.3閉路變形原理與複合閉路定理49

習題3.252

3.3柯西積分公式與解析函數的高階導數52

3.3.1柯西積分公式與均值定理52

3.3.2解析函數的無窮可微性與高階導數54

習題3.356

3.4解析函數與調和函數的關係56

習題3.459

小結59

總習題360

第4章復級數62

4.1複數項級數62

4.1.1複數列的極限62

4.1.2複數項級數的概念與審斂性62

習題4.164

4.2冪級數64

4.2.1複變函數項級數的概念64

4.2.2冪級數的概念與收斂性65

4.2.3冪級數的運算與性質68

習題4.270

4.3泰勒（Taylor）級數70

4.3.1解析函數的泰勒展開定理71

4.3.2函數的泰勒級數展開法72

習題4.375

4.4洛朗（Laurent）級數75

4.4.1雙邊冪級數75

4.4.2洛朗級數展開定理76

4.4.3函數的洛朗級數展開法79

習題4.481

小結81

總習題481

第5章留數及其應用83

5.1函數的孤立奇點83

5.1.1孤立奇點83

5.1.2函數的零點與極點的關係87

5.1.3函數在無窮遠點的性態89

習題5.191

5.2留數91

5.2.1留數的定義和計算91

5.2.2留數定理95

5.2.3函數在無窮遠點的留數96

習題5.298

5.3留數在定積分計算中的應用98

5.3.1形如∫2π0R(cosθ,sinθ)dθ的積分99

5.3.2形如∫+∞-∞R（x）dx的積分100

5.3.3形如∫+∞-∞R(x)eiaxdx(a＞0)的積分101

5.3.4被積函數在實軸上有孤立奇點的積分102

習題5.3104

5.4輻角原理及其應用104

5.4.1對數留數104

5.4.2輻角原理106

5.4.3儒歇定理108

習題5.4108

小結109

總習題5110

第6章保形映射111

6.1保形映射的概念111

6.1.1導數的幾何意義111

6.1.2保形映射的概念113

習題6.1114

6.2分式線性映射114

6.2.1分式線性映射的三種特殊形式115

6.2.2分式線性映射的性質116

6.2.3唯一決定分式線性映射的條件120

6.2.4兩個典型區域的分式線性映射120

習題6.2123

6.3幾個初等函數所構成的映射123

6.3.1冪函數與根式函數123

6.3.2指數函數與對數函數125

6.3.3複合映射舉例126

習題6.3127

小結127

總習題6128

第7章傅里葉變換130

7.1傅里葉（Fourier）積分定理130

7.1.1積分變換的定義130

7.1.2傅里葉積分定理131

習題7.1135

7.2傅里葉變換及逆變換135

7.2.1傅里葉變換及逆變換的定義135

7.2.2傅里葉變換舉例136

習題7.2136

7.3廣義傅里葉變換137

7.3.1狄克拉δ函數的性質137

7.3.2廣義傅里葉變換140

習題7.3142

7.4傅里葉變換的性質142

7.4.1傅里葉變換的基本性質142

7.4.2傅里葉變換的卷積性質144

習題7.4145

7.5傅里葉變換的應用145

7.5.1傅里葉變換在求常係數常微分方程的應用146

7.5.2傅里葉變換對某些積分方程的應用146

習題7.5147

小結147

總習題7149

第8章拉普拉斯變換150

8.1拉普拉斯(Laplace)變換的定義及存在性定理150

8.1.1拉普拉斯變換的定義150

8.1.2拉普拉斯變換的存在性定理151

習題8.1152

8.2拉普拉斯變換的性質153

8.2.1拉普拉斯變換的基本性質153

8.2.2初值及終值定理156

習題8.2157

8.3卷積性質及卷積定理157

8.3.1卷積性質157

8.3.2卷積定理158

習題8.3159

8.4拉普拉斯逆變換159

8.4.1反演公式159

8.4.2求拉普拉斯逆變換161

習題8.4163

8.5拉普拉斯變換的應用163

8.5.1利用拉普拉斯變換求常微分方程和積分方程的解163

8.5.2利用拉普拉斯變換求常微分方程組的解165

習題8.5167

小結167

總習題8168

部分習題參考答案170

參考文獻182

^[1]