複變函數與積分變換

本書遵循教育部高等院校非數學類專業數學基礎教學指導分委會修訂的“工科類本科數學基礎課程教學基本要求”，依據工科數學“複變函數與積分變換教學大綱”，結合該學科的發展趨勢，在積累多年教學實踐的基礎上編寫而成的。

本書旨在培養學生的數學素質，提高其應用數學知識解決實際問題的能力，強調理論的應用性。本書共分8章，包括複數與複變函數、解析函數、複變函數的積分、級數、留數、共形映射、傅里葉變換、拉普拉斯變換。每章均配習題及相關數學實驗，書末附有習題參考答案。本書適合高等院校工科各專業，尤其是自動控制、通信、電子信息、測控、機械工程、材料成型等專業作為教材，也可供科技、工程技術人員閲讀參考。 ^[1] 

第1章複數與複變函數

1.1複數的概念與運算

1.1.1複數的概念

1.1.2複數的代數運算及運算性質

1.1.3複數的幾何表示

1.1.4復球面

1.1.5複數的乘冪與方根

習題1.1

1.2複變函數

1.2.1預備知識

1.2.2複變函數

習題1.2

1.3複變函數的極限與連續性

1.3.1複變函數的極限

1.3.2複變函數的連續性

習題1.3

實驗一複數的表示與基本運算

第2章解析函數

2.1解析函數的概念及判定

2.1.1複變函數的導數與微分

2.1.2解析函數的概念

2.1.3函數解析的充要條件

習題2.1

2.2初等函數

2.2.1指數函數

2.2.2對數函數

2.2.3冪函數

2.2.4三角函數

2.2.5反三角函數

習題2.2

2.3調和函數

2.3.1調和函數的概念

2.3.2解析函數的表達式

習題2.3

實驗二複變函數的極限與導數

第3章複變函數的積分

3.1複變函數積分的概念

3.1.1複變函數積分的定義

3.1.2積分的存在定理及其計算公式

習題3.1

3.2解析函數積分基本定理

3.2.1柯西—古薩(CauchyGoursat)積分定理

3.2.2不定積分

習題3.2

3.3複合閉路定理

習題3.3

3.4柯西積分公式與高階導數公式

3.4.1柯西積分公式

3.4.2解析函數的高階導數

習題3.4

實驗三複變函數的積分

第4章級數

4.1複數項級數

4.1.1複數列的極限

4.1.2複數項級數的收斂

習題4.1

4.2冪級數

4.2.1複變函數項級數的概念

4.2.2冪級數

4.2.3收斂圓與收斂半徑

4.2.4冪級數的運算和性質

習題4.2

4.3泰勒級數與洛朗級數

4.3.1泰勒級數及展開方法

4.3.2洛朗級數及展開方法

習題4.3

實驗四函數的泰勒級數展開

第5章留數

5.1孤立奇點

5.1.1孤立奇點的分類

5.1.2函數的零點與極點的關係

5.1.3函數在無窮遠點的性態

習題5.1

5.2留數及其應用

5.2.1留數的概念

5.2.2留數的計算

5.2.3留數定理及其應用

5.2.4在無窮遠點的留數

習題5.2

5.3留數在定積分計算上的應用

5.3.1形如∫2π0R(cosθ,sinθ)dθ的積分

5.3.2形如∫+∞-∞R(x)dx的積分

5.3.3形如∫+∞-∞R(x)eaixdx(a＞0)的積分

習題5.3

實驗五留數的基本運算與閉曲線上的積分

第6章共形映射

6.1共形映射的概念

6.1.1有向曲線的切向量

6.1.2解析函數導數的幾何意義

6.1.3共形映射的定義

習題6.1

6.2分式線性映射

6.2.1分式線性映射的一般形式

6.2.2分式線性映射的分解

6.2.3分式線性映射的性質

6.2.4唯一決定分式線性映射的條件

6.2.5兩個典型區域間的映射

習題6.2

6.3幾個初等函數所構成的映射

6.3.1冪函數與根式函數

6.3.2指數函數與對數函數

習題6.3

第7章傅里葉變換

7.1傅里葉積分

7.1.1週期函數的傅里葉級數

7.1.2非週期函數的傅里葉積分公式

7.1.3傅里葉積分公式的變形形式

習題7.1

7.2傅里葉變換的概念

7.2.1傅里葉變換的定義

7.2.2單位脈衝函數及其傅里葉變換

習題7.2

7.3傅里葉變換的性質

7.3.1線性性質

7.3.2對稱性質

7.3.3相似性質

7.3.4位移性質

7.3.5微分性質

7.3.6積分性質

7.3.7卷積與卷積定理

*7.3.8乘積定理

*7.3.9自相關定理

習題7.3

實驗六傅里葉變換

第8章拉普拉斯變換

8.1拉普拉斯變換的概念

8.1.1問題的提出

8.1.2拉普拉斯變換的定義

8.1.3拉普拉斯變換的存在定理

習題8.1

8.2拉普拉斯變換的性質

8.2.1線性性質

8.2.2相似性質

8.2.3位移性質

8.2.4延遲性質

8.2.5微分性質

8.2.6積分性質

8.2.7卷積與卷積定理

*8.2.8初值定理與終值定理

習題8.2

8.3拉普拉斯逆變換

8.3.1復反演積分公式

8.3.2象原函數的求法

習題8.3

實驗七拉普拉斯變換

附錄A傅里葉變換簡表

附錄B拉普拉斯變換簡表

附錄CMatlab簡介

習題答案

參考文獻

^[1-2]