複變函數與積分變換

本書是根據教育部高等院校“複變函數與積分變換”課程的基本要求，依據工科數學“複變函數與積分變換”教學大綱，結合本學科的發展趨勢，在積累多年教學經驗的基礎上編寫而成的.本書共分7章，包括複數與複變函數、解析函數、複變函數的積分、級數、留數、傅里葉變換和拉普拉斯變換.此外，每章均配備了比較豐富的習題，以幫助學生加深對概念的理解，提高分析和解決問題的能力.

本書適合普通高等院校工科各專業，尤其是自動化、通信工程、電子信息、測控、機械工程、材料成型等專業作為教材，也可供科技、工程技術人員參考. ^[1] 

引言1

第一章複數與複變函數2

第一節複數的運算及其表示方法2

一、複數的概念2

二、複數的運算2

三、複數的表示方法3

四、復球面與無窮遠點4

第二節複數的冪與方根5

一、複數的乘積與商5

二、複數的冪與方根6

第三節複平面上的點集7

一、區域的概念7

二、約當(Jordan)曲線8

三、單連通、多連通區域9

第四節複變函數9

一、複變函數概念9

二、複變函數的幾何意義10

第五節複變函數的極限和連續性11

一、複變函數的極限11

二、複變函數連續12

本章小結13

習題一14

第二章解析函數17

第一節解析函數的概念17

一、複變函數的導數17

二、解析函數的概念19

第二節函數解析的充要條件20

第三節初等函數22

一、指數函數22

二、對數函數24

三、冪函數26

四、三角函數27

五、反三角函數30

六、雙曲函數和反雙曲函數30

本章小結31

習題二33

第三章複變函數的積分36

第一節複變函數積分的概念36

一、積分的定義36

二、復積分的性質37

三、復積分的存在條件與計算

方法38

第二節柯西積分定理40

一、柯西積分定理40

二、複合閉路定理41

三、不定積分43

第三節柯西積分公式44

一、柯西積分公式44

二、高階導數公式46

本章小結48

習題三49

第四章級數51

第一節復級數51

一、序列的極限51

二、複數項級數52

第二節冪級數53

一、冪級數概念53

二、收斂圓域與收斂半徑54

三、收斂半徑的求法55

四、冪級數的運算和性質57

第三節泰勒級數59

第四節洛朗級數63

本章小結71

習題四74

第五章留數76

第一節孤立奇點76

一、可去奇點76

二、極點77

三、本性奇點77

四、函數的零點與極點的關係78

五、函數在無窮遠點的性態80

第二節留數81

一、留數的概念與留數定理81

二、留數的計算規則83

三、在無窮遠點的留數85

第三節留數在定積分計算上的應用87

積分88

本章小結91

習題五94

第六章傅立葉變換96

第一節Fourier積分96

一、Fourier級數的復指數形式96

二、Fourier積分形式97

第二節Fourier變換100

一、Fourier變換的概念100

二、單位脈衝函數及其Fourier變換102

三、非週期函數的頻譜106

第三節Fourier變換的性質110

一、線性性質110

二、位移性質110

三、微分性質111

四、積分性質111

五、相似性質112

六、對稱性質113

第四節Fourier變換的卷積113

一、卷積的定義113

二、卷積定理115

本章小結116

習題六118

第七章拉普拉斯變換120

第一節Laplace變換的概念120

一、Laplace變換的定義120

二、Laplace變換的存在定理121

第二節Laplace變換的性質123

一、線性性質124

二、相似性質124

三、微分性質124

四、積分性質126

五、位移性質127

六、延遲性質128

七、初值定理與終值定理129

第三節Laplace逆變換131

一、反演積分公式131

二、利用留數計算反演積分131

第四節Laplace變換的卷積134

一、卷積的概念134

二、卷積定理134

第五節Laplace變換的應用136

本章小結142

習題七144

附錄一傅立葉變換表147

附錄二拉普拉斯變換表151

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