朗蘭茲綱領

就是將一些表面看起來不相干的內容建立起來本質聯繫。

朗蘭茲綱領建基於當時已存在的念頭：蓋爾芳特之前幾年寫的 《尖點形式之啓示》（The Philosophy of Cusp Forms）；哈瑞希·昌得拉（en:Harish-Chandra）研究半單李羣的結果和方法；而技術上則有塞爾伯格等的塞爾伯格跡公式。

朗蘭茲的創見，除技術之深以外，在於他提出上述理論與數論的直接聯繫，以及其構想中豐富的總體結構（即所謂函子性）。

例如在哈瑞希·昌得拉的工作中，我們可見以下原則：

故一旦認清一些低維李羣 —如 GL₂—在模形式理論之角色，並反觀 GL₁在類域論之角色，我們至少可推測一般 GL_n的情況。

尖點形式之念頭來自模曲線上的尖點，在譜理論上對應於離散譜；對比之下連續譜則來自艾森斯坦級數。但當給定的李羣越大，則拋物子羣越多，技術上則越複雜。

在此等研究途徑中不乏各種技巧——通常基於列維分解等事實、具誘導表示的性質 ——但這領域一直都很困難。

在模形式方面，亦有例如希爾伯特模形式、西格爾模形式和theta-級數等等面向。

洛朗·拉佛閣在朗蘭茲綱領研究方面取得了巨大的進展，他證明了與函數域情形相應的整體朗蘭茲綱領。他的工作的特點是：令人驚歎的技巧，深刻的洞察力和系統有力的方法。

朗蘭茲綱領最先是由羅伯特·朗蘭茲(RobertP．Langlands)在1967年給安德烈·韋伊(Andre Weil)的一封著名的信中提出的。它是一組意義深遠的猜想，這些猜想精確地預言了數學中某些表面上毫不相干的領域之間可能存在的聯繫。朗蘭茲綱領的影響近年來與日俱增，與它有關的每一個新的進展都被看作是重要的成果。

對朗蘭茲綱領最強有力的支持之一，是20世紀90年代安德魯·維爾斯(Andrew Wiles)證明費馬大定理。維爾斯的證明與其他人的工作一起導致了谷山―志村―韋依猜想的解決。該猜想揭示了橢圓曲線與模形式之間的關係，前者是具有深刻算術性質的幾何對象，後者是來源於截然不同的數學分析領域的高度週期性的函數。朗蘭茲綱領則提出了數論中的伽羅瓦表示與分析中的自守型之間的一個關係網。

朗蘭茲綱領的根源，可以追溯到數論中最深刻的結果之一----二次互反律。二次互反律最早產生於17世紀費馬的時代，1801年高斯給出了其第一個證明。數論中經常提到的一個問題是：當兩個素數相除時，餘數是否是完全平方？二次互反律揭示了關於素數p和q的兩個貌似無關的問題之間存在的奇妙聯繫，這兩個問題是：“p除以q的餘數是否為完全平方？”與“q除以p的餘數是否為完全平方？”儘管關於這一定律已經有許多證明(高斯本人就給出了六個不同的證明)，二次互反律仍然是數論中最神奇的事實之一。20世紀20年代高木貞治和埃米·阿廷又發現了其它的較一般的互反律。朗蘭茲綱領的一個最初動機，就是要對更一般情形的互反律提供完全的理解。

拉佛閣所證明的相應的整體朗蘭茲綱領，對更抽象的所謂函數域而非通常的數域情形提供了這樣一種完全的理解。我們可以將函數域設想為由多項式的商組成的集合，對這些多項式商可以像有理數那樣進行加、減、乘、除運算。拉佛閣對於任意給定的函數域建立了其伽羅瓦羣表示和與該域相伴的自守型之間的精確聯繫。拉佛閣的研究是以1990年菲爾茨獎獲得者弗拉基米爾·德里菲爾德的工作為基礎，後者在20世紀70年代證明了相應的朗蘭茲綱領的特殊情形。拉佛閣首先認識到德里菲爾德的工作可以被推廣而為函數域情形的相應的朗蘭茲綱領提供一幅完整的圖像。

在這一工作的過程中，拉佛閣還發現了一種將來可能被證明是十分重要的新的幾何構造。所有這些發展的影響正在波及整個數學研究領域。

我們可以二次互反律之推廣阿廷互反律為朗蘭茲綱領之起點： 給定一個Q上的、伽羅瓦羣為可交換羣的數域，阿廷互反律向這個伽羅瓦羣的任何一支一維表示配上一枚L-函數，並斷言：此等 L-函數俱等於某些狄利克雷L函數（黎曼ζ函數的類推，由狄利克雷特徵表達）。此二種L-函數之間的準確的聯繫構成了阿廷互反律。

若給定不可交換伽羅瓦羣及其高維表示，我們仍可定義一些自然的相配的L-函數——阿廷L函數。

朗蘭茲洞察到：當找到適當的狄利克雷L-函數的推廣，便有可能推廣阿廷互反律。

黑克（Erich Hecke）曾聯繫全純自守形式（定義於上半複平面上、滿足某些函數方程的全純函數）與狄利克雷L函數。朗蘭茲推廣赫克理論，以應用於自守尖點表示（自守尖點表示是Q-阿代爾環上一般線性羣GL_n的某類無限維不可約表示）。

朗蘭茲為這些自守表示配上 L-函數，然後猜想：

若要建立一一對應，須考慮較伽羅瓦羣的適當擴張，稱作韋依-德利涅羣。在可交換的例子，這相當於將狄利克雷特徵推廣為赫克特徵（德文舊稱Größencharakter）。互反猜想藴含阿廷猜想。

朗蘭茲再進一步推廣：

朗蘭茲更構想了一道非常廣泛的函子性原則（Functoriality Principle）：

函子性猜想藴含廣義拉馬努金猜想。

函子性猜想本質上是一種誘導表示構造（在傳統的自守形式理論中稱為提升，在某些特殊情況下已知），因而是協變的（相反地，受限表示構造是逆變的）。各種直接構造的嘗試只產生了一些條件性的結果。

上述各猜想亦有其他域上的版本：數域（最早期的版本）、局部域及函數域（即F_p(t)的有限擴張； 其中p是一素數，F_p(t) 是p元有限域上的有理函數域）。局部域的與數域的朗蘭茲綱領滿足一些相容性，二者之方法亦互為用。

38歲的越南數學家吳寶珠“通過引入新的代數—幾何學方法，證明了朗蘭茲綱領自守形式中的基本引理”，該成果於2009年被美國《時代》週刊列為年度十大科學發現之一。

並且於2010年8月19日，在印度海得拉巴市召開的第26屆國際數學家大會上，獲得國際數學界大獎——菲爾茨獎。

吳寶珠在接受《科學時報》採訪時説：“我只是證明了朗蘭茲綱領的基本引理，不是整個綱領，我認為整個綱領的證明也許需要用我一生的時間。”

挪威科學與文學院2018年3月20日宣佈將2018年度阿貝爾獎授予加拿大數學家羅伯特·朗蘭茲，為表彰以他的名字命名的“朗蘭茲綱領”將數學中的表示論和數論聯繫了起來。 ^[3]