L-函數

一般地, 對於一個數學對象

, 我們可定義一複數列

, 形如

且具有Euler積性的Dirichlet級數, 我們稱其為關於

的

-函數。

一般地説,

-函數來源由兩類組成: 算術L-函數和自守L-函數. 這兩者又是密切聯繫在一起的, 根據羅伯特·朗蘭茲的猜想, 籠統地説, 一切有意義的L-函數都來自自守L-函數.

簡單地説,

同樣地，狄利克雷在研究算術級數中的素數分佈時，引入了Dirichlet L-函數：

Dedekind zeta-函數: 設

為一代數數域，

橢圓曲線的Haass-Weil L-函數: 設

為一非奇異的橢圓曲線

定義

為曲線在有限域

上的解, 設

, 則下面的級數稱為關於曲線的Haass-Weil L-函數

阿廷L-函數: 設

是一個有限維的伽羅瓦表示,其中

為一代數數域,

全純模形式的L-函數, Maass L-函數, 標準L-函數等等 ^[1]  .

根據羅伯特·朗蘭茲在國際數學家大會上的報告所指, 研究一個L-函數主要有三部分內容 ^[2]  :

L-函數的解析延拓和函數方程這是最基本的一部分. 對於一般的自守L-函數這是較容易得到的, 但是對算術的L-函數這一部分並不是容易得到的. 例如, 對於Haass-Weil L-函數, 這部分就是谷山-志村猜想, 該猜想一部分就能推出費爾馬大定理. 關於阿廷L-函數的全純解析沿拓的阿廷猜想也是數論中重要的未知問題.

對於數學對象

的L-函數, 我們定義其的gamma因子為 ^[3] 

其中

為復參數.

定義下面關於

的完全

-函數

那麼, 一般地我們有函數方程

其中

為模為1的複數,

為關於

的對偶對象.

非零區域: 如黎曼zeta函數的目前最好的非零區域為

黎曼猜想和廣義黎曼猜想問題 ^[4]  :

在假設黎曼猜想下, 零點虛部的分佈問題與隨機矩陣的聯繫等等.

中心值, 臨界點, 整點的值, 極點的留數等. 這裏面也有很多猜想, 像BSD猜想, 類數問題, Deligne 猜想，Beilinson 猜想，Goldfeld猜想. 其實往往我們重要的不僅是關心它具體有多大，而是關心的這個量裏面隱含着什麼樣的算術意義。像Dedekind zeta 函數在s=1處的留數，裏面包含了一個數域的很多不變量：類數，判別式，regular等；BSD猜想就是Haass-Weil L-函數在中心點的的階就是該橢圓曲線的秩！

對於一個研究對象

如素數, 伽羅瓦擴張, 橢圓曲線, 代數簇等等, 我們可根據其性質構造出一個復變量的L-函數

. -函數的解析性質: 零點和極點, 函數方程, 展開係數, 特殊點的值等等, 往往能夠充分反映

的算術, 幾何, 或代數性質.

關於L-函數的研究,有許多未解決的公開問題,在這些問題中,尤以下面三個最為著名 ^[1]  .

L-函數所有非平凡的零點均位於

線上.

在(3.1)的函數方程中, 有猜想:

其中

為任意小的正實數.

在(3.1)的函數方程中,猜想對非分歧的有

和

.