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艾森斯坦級數

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艾森斯坦級數是費迪南·艾森斯坦首創的，一類可直接表成級數的模形式。對於一般的約化羣，羅伯特·朗蘭茲也發展了相應的理論。 [1] 
中文名
艾森斯坦級數
分    類
模形式、級數
領    域
數理科學

目錄

  1. 1 級數簡介
  2. 2 遞迴關係
  3. 3 傅立葉展開

艾森斯坦級數級數簡介

固定整數
，對上半平面上的複數
，定義艾森斯坦級數
為：
此級數是上半平面上的全純函數，此外它更是模羣
的權
模形式。換言之，若
滿足
，則

艾森斯坦級數遞迴關係

模形式理論中的一個基本事實是：模羣
的模形式俱可表為
與
的多項式。作為特例，以下説明如何將艾森斯坦級數遞迴地表成
的多項式。 [2] 
置
，遂有下述關係式：
在此
是二項式係數而
。
函數
可以表示魏爾斯特拉斯
函數：

艾森斯坦級數傅立葉展開

置
，由於艾森斯坦級數是模羣的模形式，故有傅立葉展開式： [3] 
其中的傅立葉係數
是
此處的
是伯努利數，
是黎曼ζ函數，而
是n的正因數的p次冪和。
當
，對q之和亦可化成蘭伯特級數
有時也會考慮常數項等於一的艾森斯坦級數：
拉馬努金公式
拉馬努金給出了許多有趣的艾森斯坦級數關係式，定義： [4] 
則有：
參考資料
  • 1.    Akhiezer N I. Elements of the Theory of Elliptic Functions[J]. Of Math Monographs Ams Providence Ri, 1990.
  • 2.    Steve A. Modular functions and Dirichlet series in number theory, 2nd edition, by, Apostol, T. M. . Pp 204. DM98. 1990. ISBN 3-540-97127-0 (Springer)[J]. Mathematical Gazette, 2016, 75(472):204-252.
  • 3.    Iwaniec H. Spectral Methods of Automorphic Forms: Second Edition[M]// Spectral methods of automorphic forms /. American Mathematical Society, 2002:220.
  • 4.    JeanPierre. A course in arithmetic[M]. Springer-Verlag, 1973.