二項式係數

一般二項式(x + y)ⁿ的冪可用二項式係數記為

。廣義二項式定理把這結果推廣至負數或非整數次冪，此時右式則不再是多項式，而是無窮級數。

二項式係數對組合數學很重要，因它的意義是從n件物件中，不分先後地選取k（k為正整數）件的方法總數，因此也叫做組合數。從定義出發，把n個(1+x)項的乘積展開，其中任意k項的x和n−k項的1相乘得出一個x，故此x的係數是從n個選取k個的方法總數。把各項的x標記可以更清楚看出：當n=4, k=2時，

， 所以x的係數6等於從4項物件選取2項的方法總數。

二項式係數是楊輝三角的第n+1行從左起第k+1個數，它最先由楊輝發現。

二項式係數符合等式可以由其公式證出，也可以從其在組合數學的意義推導出來。如第一式左項表示從n+1件選取k件的方法數，這些方法可分為沒有選取第n+1件，即是從其餘n件選取k件；和有選取第n+1件，即是從其餘n件選取k−1件。而第二式則是每個從n件選取k件的方法，也可看為選取其餘n−k件的方法。

二項式係數表為在我國被稱為賈憲三角或楊輝三角，一般認為是北宋數學家賈憲所首創。它記載於楊輝的《詳解九章算法》(1261)之中。在阿拉伯數學家卡西的著作《算術之鑰》(1427)中也給出了一個二項式定理係數表，他所用的計算方法與賈憲的完全相同。

在歐洲，德國數學家阿皮安努斯在他1527年出版的算術書的封面上刻有此圖。但一般卻稱之為帕斯卡三角形，因為帕斯卡在1654年也發現了這個結果。無論如何，二項式定理的發現，在我國比在歐洲至少要早300年。 　 1665年，牛頓把二項式定理推廣到n為分數與負數的情形，給出了展開式。 　 二項式定理在組合理論、開高次方、高階等差數列求和，以及差分法中有廣泛的應用。 ^[1] 

與首末兩段“等距離”的兩個二項式係數相等。即

。

是單峯序列。

（1）當n為偶數時，中間一項的二項式係數

取得最大值。

（2）當n為奇數時，中間兩項的二項式係數

相等且最大。

二項式定理(binomial theorem)，又稱牛頓二項式定理，由艾薩克·牛頓於1664、1665年間提出。

此定理指出：

，通項公式為

　 其中，

叫做二項式係數。等號右邊的多項式叫做二項展開式。

其i項係數可表示為

，即n取i的組合數目。 因此係數亦可表示為帕斯卡三角形(Pascal's Triangle)

二項式定理(Binomial Theorem)是指(a+b)ⁿ在n為正整數時的展開式。

1、

2、

3、

證明：由

當a=b=1時，代入二項式定理可證明1

當a=-1，b=1時代入二項式定理可證明2

4.組合數的性質：