反饋

局部域

（數論術語）

在數學上，局部域是一類特別的域，它有非平凡的絕對值，此絕對值賦予的拓撲是局部緊的。局部域可粗分為兩類：一種的絕對值滿足阿基米德性質（稱作阿基米德局部域），另一種的絕對值不滿足阿基米德性質（稱作非阿基米德局部域）。在數論中，數域的完備化給出局部域的典型例子。^[1]

設F為非阿基米德局部域，而

為其絕對值。關鍵在下述對象：

閉單位球：

，或其整數環，這是個緊集。

整數環裏的單位元：

開單位球：

，這同時是其整數環裏唯一的極大理想，也記作

。

上述對象與賦值環的構造相呼應；事實上，可證明必存在實數

可取唯一的c使得v為滿射，稱之為正規化賦值。

從此引出非阿基米德局部域的另一個等價定義：一個域 F，帶離散賦值

，使得F成為完備的拓撲域，而且剩餘域有限。

這類局部域的行為可由局部類域論描述。

局部域的完整分類如次：

。這些是阿基米德局部域。

的有限擴張。這些是特徵為零的非阿基米德局部域。

的有限擴張（其中

表有q個元素的有限域）。這些是特徵非零的非阿基米德局部域。

參考資料

詞條統計