阿代爾環

設F為整體域，例如有理數域

、一般的數域或函數域

等等。設

為其中的代數整數環。對於所有F上的賦值（又稱位），可定義相應的完備化

。在此，通常將賦值分為有限與無限兩類： ^[2] 

（1）有限賦值：一一對應於

的素理想，兩兩不相等價。其中的賦值環記為

。

（2）無限賦值：F上的阿基米德賦值。對於數域，無限賦值系由域的嵌入

給出，兩個嵌入

給出等價賦值的充要條件是其間至多差一個複共軛：

。無限賦值的個數有限。

有時也以素理想的慣用符號

表示賦值，並以表示

為無窮賦值。

定義

上式的積稱為限制積，這是

的子環，我們要求對其中的每個元素

，存在包含所有無窮賦值的有限集

，使得

。賦予

相應的子空間拓撲，是為賦值向量環。

的拓撲由在

點的一組局部基確定，可取下述形式之開集：

其中S是函括所有無限賦值的有限集，

是

的開子集。根據吉洪諾夫定理可知

為局部緊拓撲環，這是採用限制積定義的原因之一。

（1）對角嵌入

的像落在

，可證明F構成

的離散子集，而商羣

是緊羣。

（2）固定

的任一特徵標，則任何特徵標

皆可唯一地表示成

，是故加法羣

是其自身的對偶羣。這是在阿代爾環上開展調和分析的關鍵之一。 ^[1] 

阿代爾環主要用於代數數論中。 ^[1]  對於F上的代數羣G，可考慮其上的

點

。由於代數羣總是線性的（換言之，可嵌入

），

可以具體設想為係數佈於環

上的線性羣，並帶有自然的拓撲結構。

最簡單的情形是

，此時

稱為 idèle 羣，這是整體類域論的基石。在郎蘭茲綱領中，須考慮更廣泛的代數羣，以描述數域的絕對伽羅瓦羣。