對偶羣

若

是局部緊緻阿貝爾羣，

的特徵標是一個從

到圓羣

的連續羣同態；特徵標在逐點乘法下構成一個羣，一個特徵標的逆元是它的複共軛。可證明所有

上的特徵標在緊緻開拓撲（即：以緊集上的一致收斂定義收斂性）下構成一個局部緊緻阿貝爾羣，稱作對偶羣，記為

或

。若

可分，則

可度量化，對一般的

則不盡然。

這可用線性代數中的對偶空間來類比，就像一個佈於

的向量空間

有對偶空間

，對偶羣可看成

。更抽象的説，這兩者都是可表函子，被

及

所表示。

定理：二次對偶

與

有個自然同構。

在此，“自然”或“典範”同構意謂一個“自然地”定義的映射

，要點是它在範疇中滿足函子性（詳見條目範疇論）。舉例明之：任何有限阿貝爾羣都同構於其對偶羣，但並不存在典範同構 ^[1]  。

定理中的自然同構定義如下：

換言之，我們藉着將一個元素

在每個的特徵上求值，得到一個

上的特徵。

在整數對加法形成的無窮循環羣

（配上離散拓撲）上，設

為一特徵，則

，因此

決定於

的值；反之，給定一個，必存在特徵

使得

，由此得到羣同構羣同構

。此外也容易驗證

上的緊-開拓撲對應到

誘導自

的拓撲。

因此，

的對偶羣自然地同構於

。

反之，

上的特徵皆形如

，其中n是整數。由於

是緊的，其對偶羣上的拓撲由一致收斂性給出，對應的不外是

上的離散拓撲。因此

的對偶羣自然地同構於

。

實數對加法構成的羣

同構於自身的對偶羣；

上的特徵皆形如

，其中

是實數。藉着這些對偶性，下節描述的傅里葉變換將符應於

上的古典版本

函子的觀點對於研究對偶羣是很有用的。以下將以LCA表示所有局部緊阿貝爾羣及其間的連續羣同態構成之範疇。

對偶羣的構造

給出一個對偶函子

，其二次迭代

遂給出對偶函子：

。

定理：對偶函子是一個範疇等價。

定理：對偶函子的二次迭代自然同構於LCA上的恆等函子 ^[2]  。