塞爾伯格跡公式

塞爾伯格在1956年處理了緊黎曼曲面上的拉普拉斯算子的情形。藉由拉普拉斯算子及其冪次，塞爾伯格定義了塞爾伯格ζ函數。此時的公式相似於解析數論關注的“明確公式”：黎曼曲面上的測地線在公式中扮演素數在明確公式裏的角色。

設

為緊緻、負常曲率曲面，這類曲面可以表為上半平面

對

的某離散子羣

的商。

考慮上的拉普拉斯算子

由於為緊曲面，該算子有離散譜；換言之，下式定義的特徵值

至多可數

事實上，更可將其由小至大排列：

對應的特徵函數

，並滿足以下週期條件：

行變元代換

於是特徵值可依

排列。

塞爾伯格跡公式寫作和式中的 {T} 取遍所有雙曲共軛類。所取函數h須滿足下述性質：在帶狀區域 上為解析函數，在此 δ大於0 為某常數。 偶性：h( −r) =h(r)。 滿足估計：，在此M大於0 為某常數。 函數g是h的傅里葉變換：

為了計算赫克算子作用於尖點形式上的跡，出現了 亞瑟-塞爾伯格跡公式。志村五郎後來採取的方法省去了跡公式中的分析技巧。拋物上同調也為非緊黎曼曲面與模曲線的尖點問題提供了純粹的代數框架。最後， 為緊的情形可藉阿蒂亞-辛格指標定理處理，然而，一旦取 Γ 為算術子羣，便不免要處理非緊的情形。在1960年代，塞爾伯格跡公式由蘇聯的蓋爾芳特學派、普林斯頓大學的हरीश चन्द्र、羅伯特·郎蘭茲與日本的窪田富男接手推動。非緊情形的連續譜是郎蘭茲發展艾森斯坦級數理論的動機之一。拉普拉斯算子與赫克算子的跡公式表明了賦值向量環之妙用。

亞瑟-塞爾伯格跡公式適用於一般的半單羣（或約化羣）。此公式的一側稱為譜側，與羣的表示相關；另一側稱為幾何側，與函數之軌道積分相關。羣表示通常帶有重要的數論信息，而軌道積分則較容易操作。亞瑟-塞爾伯格跡公式是證明郎蘭茲函子性猜想的重要進路之一。