約化羣

約化羣(reduced group)是計算與研究K₀羣的一個工具。對任一環R總有惟一的環同態f：Z→R，這裏的Z為整數環。f誘導出羣同態K₀(f)：K₀(Z)→K₀(R)，稱K~₀(R)≡K₀(R)/Im K₀(f)=coker K₀(f)為R的約化羣。Im K₀(f)=Z·[R]是[R]在K₀(R)中生成的循環羣。若R為交換環且一切有限生成投射R模都是自由的，則K~₀(R)=0(例如，當R為PID時).對一般的交換環R，則有： ^[2] 

設G是一個非空集合，G上有一個叫做乘法的代數運算，即有一個G×G到G的映射，對a，b∈G，(a，b) 在這個映射之下的象記作ab，如果以下條件被滿足，則稱G是一個羣： (1) 對於任意的a，b，c∈G，(ab)c=a(bc)。(2)對任意的a，b∈G，方程ax=b，ya=b在G中有解。設G是一個羣，存在唯一的元素e∈G使得對任意的a∈G，ea=ae=a，e稱為G的單位元。對任何a∈G，存在唯一的元素a∈G，使得aa=aa=e，a稱為a的逆元。一個羣的元素個數如果是有限的，則稱這個羣是有限羣，否則，這個羣稱為無限羣。有限羣的元素個數稱為這個羣的階。對於羣G的元素a，使得a=e的最小正整數m稱為a的階，這裏a表示m個a相乘的積，如果不存在這樣的正整數m，則稱a是無限階的。 ^[1] 

設G₁，G₂是兩個羣，是G₁到G₂的一個映射，如果對任意的a，b ∈ G，(ab)=φ(a)φ(b)，則稱φ是羣G₁到G₂的同態。羣G₁到G₂的同態φ如果是單射(滿射)，則稱φ是單同態(滿同態)，如果φ還是個一一映射，則稱是一個同構，而且稱羣G₁與G₂是同構的，記作G₁≌G₂。如果一個非空集合A到自身的一些一一映射在映射的複合運算下作成一個羣，這種羣稱為變換羣。凱萊定理指出，每個羣都與一個變換羣同構。有限集合到自身的一一映射稱為置換，n個元素的集合的全體置換做成的羣稱為n次對稱羣，記作S_n。設G是一個羣，a∈G，規定對於正整數m，(a-1)=a，a=e，則對任何整數n，a有意義。設G是一個羣，如果存在a∈G，使得G={a|n為整數}，則稱G為循環羣，記作G=(a)，a稱為G的一個生成元。設G=(a)，如果a的階無限，則G與全體整數在加法運算之下做成的羣同構。如果a的階為正整數n，則G與模n的剩餘類在加法運算之下做成的羣同構。設G是一個羣，H是G的子集，如果H對於G的運算也做成一個羣，則稱H是G的一個子羣。設H是羣G的一個子羣，對任意的a∈G，定義aH={ah|h∈H}，Ha={ha|h∈H}，aH和Ha分別稱為子羣H的一個左陪集和右陪集。若G是有限羣，則H的左、右陪集的個數都等於|G|/|H|。從而有限羣G中每個元素的階都是G的階的因子。設H是羣G的子羣，如果對任意的a∈G，aH=Ha，則稱H是G的正規子羣，或不變子羣。設H是G的一個正規子羣，H的左陪集全體記作G/H，對任意的aH，bH ∈ G/H，定義 (aH) (bH) = (ab) H，則G/H也做成一個羣，這個羣稱為G的一個商羣，映射π： G→G/H，a→aH，是一個滿同態。設φ是羣G₁到羣G₂的同態，Kerφ= {a∈G₁|φ(a)=e}稱為φ的核。φ(G₁)={φ(a)|a∈G1} 稱為的象，Ker是G₁的正規子羣，(G₁)是G₂的子羣，並且(G₁)≌G₁/Kerφ。 ^[3] 

羣同態是類似於羣、拓撲羣中相應的概念。李羣到李羣的同態映射。若ρ為李羣G₁到李羣G₂內的普通羣同態，且為連續映射，則稱ρ為G₁到G₂內的李羣的同態。若李羣G₁到G₂上之李羣同態ρ為一一對應，則稱ρ為李羣的同構，這時ρ為G₂到G₁上之李羣的同構.李羣的同構為解析映射，且同態像ρ(G₁)為G₂中李子羣，同態核ker(ρ)為G₁中閉正規子羣.若ρ為G₁到G₂上的李羣的同態，記π為G₁到G₁/ker(ρ)上的自然映射，則π仍為李羣的到上的同態，且存在李羣G₁/ker(ρ)到李羣G₂上之李羣的同構σ為交換圖，即ρ=σ·π.這就是李羣的同態基本定理。設ρ為李羣G₁到G₂內的同態，記J₁及J₂分別為G₁及G₂的李代數，於是ρ的微分dρ為J₁到J₂內之李代數的同態，且有重要公式：

ρ(exp X)=expdρ(X)，　任意X∈J.

所以李羣的同態誘導了李代數的同態.反之，若李羣G_i的李代數為J_i，i=1，2，且存在J₁到J₂上之同態σ，一般來説，不一定存在李羣G₁到G₂上之同態ρ，使得dρ=σ，只有當G₁為連通且單連通李羣時，才必定存在。

對並與差運算封閉的集類，測度論中重要概念之一。設F是Ω上的一個非空集類。如果它對集的並及差運算封閉，即對任何A，B∈F，都有A∪B∈F，A\B∈F，則稱F為Ω上的環。例如，若F是由實直線R上任意有限個左開右閉的有限區間的並集：

A=U(a_i，b_i]

的全體構成的集類，則F是R上的一個環。環也是對於交與對稱差運算封閉的集類，並按這兩種運算成為布爾環。要把R上的勒貝格測度和勒貝格-斯蒂爾傑斯測度以及相應的積分理論推廣到更一般的集合上，就需要做一系列奠基工作，其中之一是建立一些特殊的集類並研究其性質.環以及半環、σ環、代數、σ代數等重要集類正是為了這一目的而引入的。 ^[4] 

環同態是結合環上李(若爾當)環的同態在結合環上的表現。設R，R′是結合環，R到R′的一個加羣同態φ，若滿足：

則稱φ為R到R′的李(若爾當)同態。當φ是滿單射時，φ稱為R到R′上李(若爾當)同構。一個李同態(同構)φ，若滿足φ(x)=φ(x)，x∈R，則稱φ為3李同態(同構)。李同態(同構)何時是環同態(同構)?20世紀60年代為不少學者所研究，如赫爾司亭(Herstein，I.N)與克萊因菲爾德(Kleinfeld，E.)證明：單環R到單環R′上的3李同態，當ch(R)=2時是同構或反同構。一般地，朱元森於1981年證明：有1結合環R，R′且R′的中心不含零因子且ch(R′)≠2，3，則R到R′上3李同態(同構)必為同態或負反同態(同構或負反同構)。當R′是素環且(R，+)不含週期為2，3的元時，上述結論仍成立。

循環羣是一種重要的羣。即由一個元素生成的羣。循環羣分為兩類：一類是有限循環羣，n個元的有限循環羣與模n的剩餘類加羣同構；另一類是無限循環羣，它與整數加法羣同構。循環羣是特殊的阿貝爾羣。循環羣的子羣和商羣仍是循環羣。

一個羣*G，其中存在一個元素a，使得G中任何元素都可以表示成ak的形式(k為整數)。a稱為它的生成元。循環羣是一種交換羣。 ^[5]