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整數加法羣
鎖定
- 中文名
- 整數加法羣
- 外文名
- additive group of integers
- 所屬學科
- 數學
- 別 名
- 整數加羣
- 所屬問題
- 羣論基礎
- 相關概念
- 循環羣，羣公理，交換羣等
整數加法羣基本介紹
整數與整數上的乘法運算不能構成羣，因為除了元素1和-1外，所有元素都不存在逆元。類似地，
都是羣，而
都不是羣，因為元素0沒有逆元。
都是羣，兩個羣的單位元均為1，元素
的逆元是該元素的倒數
[2]
。
整數加法羣
，是由整數Z和整數加法運算+組成。其單位元0；
結合律：
；
逆元：
。
整數加法羣相關性質
① 子羣設G是羣，
，若H具封閉性、單位元、逆元，稱H是G的一個子羣，記號
。換句話説，若
，則H是G的一個子羣。作為羣公理之一的結合律，因為H繼承了G的運算，所以自然成立，因此，子羣也是羣。
考慮整數加法羣
，自然可以想到，在偶整數上做加法可以成羣，如0+2=2，2+4=6…定義
為整數上的所有偶數，則
是
的子羣。
事實上，對任意整數b，定義
，則
是
的子羣。
②循環羣 設g是羣G中一個取定的元素，若羣G的任意一個元素
可以寫成
的形式，則稱G循環羣，稱g為羣G的一個生成元，可寫成
。
循環羣(cyclic group)是一種重要的羣，即由一個元素生成的羣。循環羣分為兩類：一類是有限循環羣，n個元的有限循環羣與模n的剩餘類加羣同構；另一類是無限循環羣，它與整數加法羣同構，循環羣是特殊的阿貝爾羣，循環羣的子羣和商羣仍是循環羣。
整數加法羣
中，任意元素a都可以表示成1或-1的冪，因此
是循環羣。
在整數加法羣上做一些小修改可以做出另一個有意思的循環羣
，其中
，同餘加法
定義為
。在這裏
，也就是説
(n個1相加模n餘0)。所以，
是n階循環羣。
③交換羣 具有交換性的羣稱為交換羣。交換性：
。
④在整數加法羣
中，0的週期是1，除0以外的其他元素的週期都是無限的。
整數加法羣羣公理
在數學中，羣是一種代數結構，由一個集合S與一個二元運算·組成，要成為羣，還需要滿足一些條件，這些條件被稱為“羣公理”，即封閉性、結合律、單位元和逆元。
1．封閉性，即
。
2．結合律，即
。
3．單位元，即有一個元素
(在羣G中常用
或1表示單位元)。
4．逆元，即
，記
。
可以定義元素a的冪為：
。
