尖點

在數學中，尖點（cusp）在舊文本中稱為奇點，是曲線上瞬間改變方向的一個點。 因此，尖點是曲線的奇點的一種。曲線在尖點時，沒有自相交的情形。

對於由可微分參數方程定義的平面曲線

尖點是f和g的兩個導數都為零的點，並且其中至少有一個改變符號。 在這個意義上，尖點是局部奇點，它們僅涉及參數t的一個值，與涉及多個值的自交點相反。

對於由隱式方程定義的曲線

尖點是F的泰勒展開的最低維的項；然而，並不是所有具有此屬性的奇點都是尖點。

平面曲線尖點可以通過平面的不同形狀被寫成以下形式：

其中k≥1並且是整數。 ^[1] 

考慮兩個變量的平滑實值函數，如f（x，y），其中x和y是實數。 所以f是從平面到線的一個函數。 所有這些平滑函數由平面和線的不同形狀組成，源和目標之間的座標變形不同。該動作將整個函數分成等價類。

這樣的等價類的族由Ak^±表示，其中k是非負整數，這個符號由V.I.Arnold提出。如果函數f位於x²±y^{k + 1}的曲線中，那麼函數f被認為是類型A^k±，即在源和目標中存在將座標變換成這些形式。這些簡單的形式x²±y^{k + 1}被稱為給出類型為Ak^±的維度的正常表達式。 注意，由於源中座標（x，y）→（x，-y）的變形變化為x² + y^{2n + 1}〜x²-y^{2n + 1}，所以A²ⁿ +與A^2n-相同。 所以我們可以從A2n^±符號中減去±。

普通的尖點由x²-y³= 0給出，即類型A^2-奇點的零電平集合。 令f（x，y）為x和y的平滑函數，為了簡便起見，假設f（0,0）= 0。那麼（0,0）的f的類型A²奇點可以表徵為：

（1）f的泰勒級數中的二次項，稱為L（x，y）²，其中L（x，y）在x和y中是線性的；

（2）L（x，y）不分割f（x，y）的泰勒級數中的三次項。

通過x² - y⁵ = 0給出了一個尖點，即A₄型奇點的零維集合。對於A₄型奇點，我們需要f具有簡併二次部分（給出類型A≥2），L分割三次項（給出類型A≥3），另外可分解條件（給定類型A≥4） ，和最終的不可分割條件（給定類型為A4）。 ^[2] 

為了看這些可分性條件來自哪裏，假設f具有簡併二次分量L²，並且L分割三次項。 因此，f的三階泰勒級數由L²±LQ給出，其中Q在x和y中是二次方。 我們可以完成平方，顯示L²±LQ =（L±½Q）² - ¼Q⁴。 我們現在可以做出變量的變形（在這種情況下，我們簡單地用線性獨立的線性部分來代替多項式），使得（L±1QQ）² - ¼Q⁴→x₁² + P₁其中P₁在x₁和y₁中是四分之一（四階）。 A≥4的可分性條件是x₁除以P₁。 如果x₁不分P₁，那麼類型完全是A₃。 如果x₁劃分P₁，我們在x₁² + P₁上完成平方和改變座標，使得我們有x₂² + P₂，其中P₂在x₂和y₂中是五次的（五階）。 如果x₂不分割P₂，則我們具有精確的A₄類型，即零維度集是一個尖點。

當在三維歐幾里得空間中投射到平面中時，自然會出現尖點。 一般來説，這樣的投影曲線，其奇點是自交點和尖點。 當兩條曲線的不同點具有相同的投影時，出現自交點。 當曲線的切線平行於投影方向（即在單點上切線投影時），會出現尖點。 當多個現象同時發生時，會發生更復雜的奇點。 例如，對於拐點與投影方向平行的拐點（和起伏點）出現尖點。

在許多情況下，通常在計算機視覺和計算機圖形學中，投影的曲線是對投影的（平滑）空間物體的限制的關鍵點的曲線。 因此，尖點顯示為物體（視覺）或其影子（計算機圖形）的圖像的輪廓的奇點。

焦散和波陣面是具有在現實世界中可見的尖點的曲線的示例。